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#1 27-12-2009 17:51:48

P0line
Invité

Montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe

Bonjour,
Si quelqu'un pouvait m'aider, je cherche à montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe.
Merci

#2 27-12-2009 21:12:53

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 835

Re : Montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe

Bonsoir,

  Il y a plusieurs façons de procéder :
* on peut utiliser le lemme de décomposition des noyaux.
* on peut le prouver directement, par exemple en faisant un raisonnement par récurrence.
Soient [tex]E_1,\dots,E_p[/tex] les sous-espaces propres de l'endomorphisme u, associés respectivement aux valeurs propres [tex]\lambda_1,\dots,\lambda_p[/tex].
On va prouver par récurrence sur k allant de 1 à p que [tex]E_1,\dots,E_k[/tex] sont en somme directe. C'est vrai pour k=1, et si c'est vrai au rang k-1, alors prouvons-le au rang k.
Soient [tex]x_1,\dots,x_k[/tex] des éléments de [tex]E_1,\dots,E_k[/tex] tels que
[tex]x_1+\dots+x_k=0\quad[/tex] (1)
On applique u à cette égalité, et on trouve
[tex]\lambda_1 x_1+\dots+\lambda_k x_k=0[/tex] (2)
On effectue alors [tex]\lambda_k (1)-(2)[/tex] et on obtient
[tex](\lambda_k-\lambda_1)x_1+\dots+(\lambda_k-\lambda_{k-1})x_{k-1}=0[/tex]
Par hypothèse de récurrence, ceci entraine que [tex]x_j=0[/tex] pour j<k.
En revenant à (1), on prouve aussi que [tex]\lambda_k=0[/tex], et donc on a bien démontré que
[tex]E_1,\dots,E_k[/tex] sont en somme directe.

Fred.

Hors ligne

#3 28-12-2009 12:16:23

p0line
Invité

Re : Montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe

merci beaucoup de m'avoir aidée!

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