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#1 08-12-2009 14:06:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Le marcheur

Bonjour,

  Voici une petite énigme qui est une évidence, mais pour laquelle j'aimerais une preuve correcte mathématiquement.
Un marcheur parcourt 20km en 5H. Démontrer qu'il existe un intervalle de temps d'une heure pendant lequel il a
parcouru exactement 4km.

Fred.

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#2 09-12-2009 14:40:00

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Le marcheur

Bonjour à tous,
Ce que j'ai à dire sur ce problème ressemble si peu à un raisonnement mathématique que j' ai hésité à intervenir.
Disons plutôt que c'est un « exposé"  destiné à convaincre le citoyen lambda qu'il y a bien eu un espace de temps d'une heure où le marcheur a fait 4 kilomètres.
J'écarte bien entendu le cas où le marcheur a maintenu une vitesse constante, car, dans ce cas il est bien « évident » (pardon Tibo) que chaque espace de temps d'une heure correspond à 4 kms.
Prenons le cas d'une vitesse irrégulière et appelons a, b, c, d, et e les parcours correspondant à chacune des 5 heures, et t1, t2, t3, t4 les « points temporels » (encore pardon!) qui séparent ces heures.
Certaines de ces valeurs a, b, c, d, e sont supérieures à 4 kms, d'autres inférieures.
Prenons deux temps voisins dont l'un est supérieur 4 kms et l'autre inférieur (c'est inévitable).
Je prends (uniquement pour fixer les idées) : c > d .
« c » est le parcours inclus entre t2 et t3, « d » est le parcours compris entres t3 et t4.
t2 → t3 : plus de 4 kms,
t3 → t4 : moins de 4 kms.
Décalons maintenant, par opérations successives, ces temps d'un millième de seconde : m.
On a :
t2 → t3 : une heure, parcours plus de 4 kms,
t2+ m → t3+m : une heure, parcours : ?
t2+2m → t3+2m : une heure, parcours : ?
…................
…................
…................
t2+3.599.998m → t3+3.599.998m : une heure, parcours : ?
t2+3.599.999m → t3+3.599.999m : une heure, parcours : ?
t3 → t4 : parcours : moins de 4 kms.
Si l'on envisage ces différents espaces de temps successifs, le parcours pour chacun d'eux variera (ou ne variera pas), mais toujours d'une quantité infime.
Or, le premier de ces espaces de temps correspond à plus de 4 kms et le dernier de moins de 4 kms.
Donc, il y en a un (ou alors un espace de temps intermédiaire entre deux de ces temps successifs) qui correspond à 4 kms.

Maintenant, je m'adresse aux ricaneurs qui diront qu'un tel raisonnement, d'un point de vue mathématique, est juste bon à mettre au cabinet, et je leur pose la question : doutez-vous maintenant qu'il y ait un espace de temps d'une heure correspondant à 4 kms ?

Dernière modification par nerosson (09-12-2009 14:49:51)

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#3 09-12-2009 15:18:02

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 572

Re : Le marcheur

Salut,

je pense que le problème suppose que la fonction vitesse : R+ -> v(t) réel (en m/s pex) est une fonction continue par rapport à t (temps continu).

A partir de là, je pense que l'idée est de dire que même si v(t) n'est jamais tout le temps égale à 4 KM/H, elle doit, par continuité et théorèmes des valeurs intermédiaires, prendre cette valeur une nombre de fois tel que mis, bout à bout, l'intervalle de temps reconstitué doit être exactement d'une heure.

Ce qui m'ennuie dans l'énoncé est "pourquoi une heure exactement" ? La vitesse moyenne peut être de 4 KM/h sans pour autant avoir marché exactement à cette vitesse durant cette durée.

Je n'ai pas encore eu le temps d'explorer rigoureusement cette idée. Je sais par contre d'expérience que parcourir 20 KM en 5 heures (non stop) n'est pas le fait de tout le monde. Dans mon jeune temps, à l'armée, il nous arrivait de faire, de nuit, 8 KM  en 1 heure chrono, mais ils auraient eu du mal à prolonger de 15 minutes  supplémentaires sans entrainements préparatoires.

Bb

Dernière modification par freddy (09-12-2009 18:27:30)


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#4 09-12-2009 18:29:38

Koloplaste
Invité

Re : Le marcheur

Bonjour, j'ai essayé de répondre à cette énigme il y a peut, il y a des propositions de démonstration ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5057

#5 09-12-2009 19:48:00

freddy
Membre chevronné
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Messages : 6 572

Re : Le marcheur

Re,

si je prends un modèle à accélération uniforme du type v(t) = at, la distance parcouru en t secondes d(t) = at²/2, la vitesse moyenne ressort à d(t)/t = at/2 = v(t)/2.

en 5*60*60 = 18.000 secondes, j'ai parcouru 20.000 m, soit 4 km/h = 10/9 m/s => l'accélération a = (1/8.100) m/s². Au départ je suis à vitesse nulle, et à la fin je marche , à la dernière seconde, à 8 KM/h.

Et je n'ai marché qu'une seule seconde à 4 KM/H, soit quand at=10/9 => t=81000/9 = 9000 secondes = 2.5 heures après mon départ.

Je me demande si le problème n'est pas de montrer qu'en fait, il est certain qu'à un instant donné, j'ai bien marché à la vitesse équivalent de 4 km/h /

Bon, Fred, arrête de nous faire marcher !

Dernière modification par freddy (09-12-2009 22:58:59)


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#6 09-12-2009 20:36:39

freddy
Membre chevronné
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Messages : 6 572

Re : Le marcheur

Au temps pour moi.

De retour chez moi, je peux lire les sujets avec précision.

Il est dit : montrer qu'il existe une période d'une heure durant laquelle j'ai parcouru 4 KM. A aucun moment il n'est fait mention d'une quelconque vitesse moyenne.

Je pars me concentrer un peu !


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#7 09-12-2009 20:44:31

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : Le marcheur

Non, non, le problème c'est bien de savoir si pendant 1H, on a effectivement effectué 4km.
Je ne savais pas que l'énigme avait été posé il y a peu sur un autre site, où il y a beaucoup de réponses un peu délirantes (celle de celui qui a posé la question est juste, mais inutilement compliqué je trouve).
En réalité, le raisonnement est essentiellement celui de Nerosson, mais il ne fait pas une réelle preuve mathématique car il ne connait pas l'argument essentiel : le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue.

Pour t dans l'intervalle [0,4], on pose f(t) la distance parcourue entre le temps t et t+1 (en heure).
Puisque f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=20, on ne peut avoir toujours f(t)<4 ou f(t)>4. Ainsi, il existe t_1 avec f(t_1)>=4
et t_2 avec f(t_2)<=4. f est clairement une fonction continue. Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un t dans l'intervalle [t_1,t_2] tel que f(t)=4.

20km en 5H, c'est ce que fait un bon marcheur. Un coureur honnête le fait en 1h30!

Fred.

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#8 09-12-2009 23:03:16

freddy
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Messages : 6 572

Re : Le marcheur

Je suis OK.

Dans l'exemple que j'ai développé, j'ai bien parcouru 4 km entre 2 H et 3 H après mon départ.

Et pourtant, je n'ai marché qu'à une seule seconde à 4 km/h.

Bravo !


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#9 11-12-2009 18:47:59

DaC
Invité

Re : Le marcheur

Par l'absurde: si quel que soit l'intervalle d'une heure considéré la distance est differente de 4 kms alors c'est que la fonction f(t,t')=distance parcourue pdt (t-t') et ss lka cond t-t'=1 est tjrs >4 ou tjrs<4. par continuite. Ceci est évidement impossible

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