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#1 27-10-2005 10:21:43

mathilde
Invité

systemes complets

bonjour
j'ai besoin d'aide pour trouver le nombre de systemes complets qu'admet un ensemble à 3 éléments puis un ensemble à4 élements
j'ai essayer de les compter mais j'aimerai avoir une methode plus rigoureuse
merci

#2 27-10-2005 13:54:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : systemes complets

Peux-tu me dire ce qu'est un système complet?

Hors ligne

#3 30-10-2005 17:12:33

mathilde
Invité

Re : systemes complets

un systeme complet D4UN ensemle E c'est l'union de plusieurs ensembles d'intersection vide comprenant tous les éléments de E
par exemple un systeme complet de {a,b,c} est {a}u{b,c}
                                                        ou encore {a}u{b}u{c}

#4 30-10-2005 17:38:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : systemes complets

J'aurais plutôt appelé cela le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments, mais effectivement,
en probabilité, on parle de système complet...

Je ne suis pas sûr qu'il existe une formule facile, mais on peut obtenir une formule de récurrence.
On note [tex]N_{k,n}[/tex] le nombre de partitions contenant exactement k parties d'un ensemble En à n éléments, et [tex]N_n[/tex] le nombre total de ces partitions. On construit l'ensemble des partitions d'un ensemble à n éléments à partir de celui obtenu pour n-1 éléments de la façon suivante.

Soit [tex]E_{n-1}=\{1,2,..,n-1\}[/tex] l'ensemble à n-1 éléments et n le nom du nieme élément.

Une partition de En:

    * soit admet [tex]\{n\}[/tex] comme singleton,
    * soit a l'élément n dans une partie de plus d'un élément.

Le nombre de partitions contenant k parties du premier ensemble est exactement égal au nombre de partitions contenant k-1 parties de [tex]E_{n-1}[/tex], soit [tex]N_{n-1,k-1}[/tex] . Pour les partitions n'admettant pas {n} comme singleton, on les construit ainsi: on passe d'une partition contenant k parties de En-1 à k différentes partitions (contenant toujours k parties) de En en ajoutant l'élément n à chacune des k parties de cette partition.

Au total, on arrive à:


[tex]N_{n,k} = N_{n-1,k-1} + k N_{n-1,k}[/tex]

Il suffit de sommer tous les [tex]N_{n,k}[/tex] pour obtenir [tex]N_n[/tex].

A priori, les premières valeurs de [tex]N_n[/tex] semblent être 2,5, 15,52....

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