relation d'equivalence [Résolu]

vanessa91 · 30-10-2009 21:37:41

bonsoir,
vous pouvez m'aiderà a faire l'exercice suivant svp? jai beaucoup de mal:
pr tout nombre complexe z, la notation |z| designe le module de z. On definit une relation R sur C en posant pour tout nombre complexes z1 et z2:
on pose : z1 R z2 et ce qui donne |z1|=|z2|

1) montrer que R est une relation d'equivalence sur C

yoshi · 30-10-2009 22:00:32

Bonsoir Vanessa91,

Et bienvenue sur BibM@th...
Ca a pourtant l'air assez assez simple

On dira que l'on a [tex]z1\;\mathcal{R}\;z1[/tex] si et seulement si |z1| = |z2|

(Sous toutes réserves)
[tex]\forall\;z_1,\;z_2,\;z_3\;\in\;\mathbb{C}[/tex] :
1. [tex]\mathcal{R}[/tex] est-elle Réflexive ? Evidemment oui : on a bien [tex]z1\;\mathcal{R}\;z1[/tex] puisque |z1| = [z1| tout nombre complexe a bien le même module que lui même

2. Si |z1| = |z2] alors |z2| = |z1| la relation [tex]\mathcal{R}[/tex] est bien symétrique : [tex]z_1\;\mathcal{R}\;z_2\Rightarrow z_2\;\mathcal{R}\;z_1[/tex]

3. A-t-on [tex]z_1\;\mathcal{R}\;z_2\;et \; z_2\;\mathcal{R}\;z_3\Rightarrow z_1\;\mathcal{R}\;z_3[/tex] ?
Oui puisque si |z1|=|z2| et [z2|=|z3| alors |z1|=|z3|. La relation est Transitive.

Cette relation étant Réflexive, Symétrique et Transitive, c'est une relation d'équivalence...

@+

PS

Sous toutes réserves : parce que ça fait 30 ans que je n'ai pas touché à ça...

vanessa91 · 30-10-2009 22:09:02

ah oui merci beaucoup , je comprends mieux maintenant merci.

mais je n'arrive pas aussi les questions 2 et 3:
2/ determiner les classes d'equivalence des nombres complexes 0 , 1 et i.
3/ determiner la classe d'equivalence d'un nombre complexe quelconque z.

Pouvez- vous m'aider a ces 2 questions car je suis bloqué à ces questions . Merci d'avance

yoshi · 30-10-2009 22:25:04

Re,

Tu me rassures si ça te paraît également cohérent...
Tes questions 2. et 3. va falloir que je réfléchisse un peu plus.
Donc si qq passe avant moi qu'il ne se gêne surtout pas...

Bon, toi tu es dedans (et dire que j'ai enseigné en Collège à l'époque : z'étaient bien complètement frappadingues les concepteurs du programme...) donc, dans un premier temps,je vais te livrer les pistes qui me viennent immédiatement à l'esprit (sachant qu'il faudra peut-être moduler tout ça) pour te permettre de chercher aussi...
2. La classe d'équivalence d'un complexe z quelconque, c'est l'ensemble des complexes z' tels que [tex]z\;\mathcal{R}\;z'[/tex].
Ceci posé il te reste donc à identifier
* tous les z tels que |z|=0
* tous les z tels que |z| = 1
* tous les z tels que |z| = |i|

3. Ce n'est apparemment qu'une généralisation de la question 2. Toute la question (pour la facilité du travail) me semble être de choisir entre la forme z x+iy et [tex]z = r(\cos \theta + i\sin\theta)[/tex]

@+

yoshi · 30-10-2009 23:13:14

Bonsoir,

Poser une question, c'est déjà y répondre dit-on...
En m'interrogeant :

Toute la question (pour la facilité du travail) me semble être de choisir entre la forme z x+iy et [tex]z = r(\cos \theta + i\sin\theta)[/tex]

j'ai donc déjà répondu...

Oui, il est plus facile de répondre en partant de [tex]z = r(\cos \theta + i\sin\theta)[/tex], disons que la réponse arrive plus directement...
Alors Vanessa pas d'idée pour la 2. ?
Alors, imagine que z est l'affixe d'un point du plan complexe, et interroge-toi :
- Où sont placés tous les points M tels que |z|=0, donc tels que r=0 ?
- Où sont placés tous les points M tels que |z|=1, donc tels que r=1 ?
- Où sont placés tous les points M tels que |z|=|i|, donc tels que r=|i] ?

Si tu sais répondre à ces questions, répondre à la n° 3 devrait être simplissime (2 lignes).

@+

vanessa91 · 30-10-2009 23:29:29

je ne sais pas du tout repondre a ces questions
je suis vraiment perdu....

yoshi · 31-10-2009 00:21:01

re,

Où est donc passé tout ce que tu as fait en TS sur les complexes ?
Ceci est même d'un niveau de calcul inférieur...
Si z est l'affixe du point M, c'est aussi celle de [tex]\overrightarrow{OM}[/tex], O étant l'intersection de l'axe des abscisses et de celui des ordonnées.
Quand j'écris :
[tex]z =x + iy = r(\cos\theta + isin\theta)[/tex], [tex]\theta[/tex] est l'angle orienté que fait le vecteur [tex]\overrightarrow{OM}[/tex] avec le vecteur [tex]\overrightarrow{OI}[/tex] dans le repère (O, I, J) et r est la longueur OM.
Donc la question devient : où sont placés tous les points situés à une longueur r = 1 du point O ?
Posée ainsi, la question, et donc la réponse, sont à la portée d'un élève de 4e.
Ceci n'est pas dans l'intention de rabaisser qui que ce soit, mais pour t'empêcher de chercher des choses compliquées : il faut au contraire être persuadée que la question ainsi posée, et la réponse, sont d'un niveau très simple...

Courage !

A demain

@+

freddy · 31-10-2009 02:14:44

Salut,

quelle mémoire notre yoshi !!!

Bon, il faut seulement se souvenir que le module de l'imaginaire pur i est égal à 1, comme celui du réel 1.

Donc ils ont même classe d'équivalence que je laisse à Vanessa91 le soin de trouver toute seule, en passant par l'écriture trigonométrique d'un nombre complexe comme yoshi le dit (et r étant le module de z ).

Une fois cela compris, trouver la classe d'équivalence de z selon R est tout aussi simple : ce sont tous les nombres complexes ayant même module => il te reste à en donner la définition mathématique en compréhension et le tour est joué !!! l'exo 3 est tout simplement la généralisation du 2.

A demain,

freddy

yoshi · 31-10-2009 09:18:10

Merci freddy,

D'avoir ton approbation est une satisfaction, parce que pendant un temps, j'ai eu l'impression de travailler sans filet avec 0,1 % de doute.
C'est peu, mais déjà trop pour mon confort intellectuel.

Allez Vanessa, à nous deux, freddy et moi, on a presque tout fait...

@+

vanessa91 · 31-10-2009 19:28:10

bah enfaite je vous remercie de m'avoir m'aider ,

jai mis dans la 2/ que:
pour 0 : (0R|z2|) si et seulement si |0|=|z2| soit 0=|z2|
pour 1: (1R|z2|) si et slt si |1|=|z2| soit 1=|z2|
pour i: (iR|z2|) si et slt si |i|=|z2| soit 1=|z2|

pour la kestion 3:
(zRz2) si et seulemnt si |z|=|z2| soit |z|=|z2|
voila

yoshi · 31-10-2009 20:02:06

Salut,

Tu as répondu à côté...
On va remonter plus loin en arrière alors...
En 6e, on apprend que
On appelle cercle de rayon r et centre O, l'ensemble des points situés à la distance r du point O.

Partant de là...
La classe d'équivalence de z tel que |z|=0 n'est autre que 0 lui même (rayon = 0)...
La classe d'équivalence de i, est la même que celle de 1 parce que |i| = 1. on a donc r = 1 soit module ou rayon = 1... Ce sont les affixes des points du cercle trigonométrique : r = 1 et centre O(0 ; 0)

Question 3. Tu as [tex]z = r(\cos \theta+ i \sin \theta)[/tex]
r et [tex]\theta[/tex] sont quelconques.
Donc tu cherches les affixes des points situés à une distance r de O.... Alors ?

@+

vanessa91 · 31-10-2009 21:42:15

ah oui ok je comprends mieux pour la question 2 merci...
pour la question n°3: bah r=|z|
mais aprés je vois pas comment continuer..

yoshi · 31-10-2009 21:52:15

Re,

Et bien c'est une généralisation : c'est tout bêtement le cercle de centre O et de rayon r, module du nombre complexe z donné...
Si je prends z= 1+i, j'ai [tex]|z| =\sqrt 2[/tex], centre O et rayon racine(2)
Si je prends z =3+4i ou z = 4+3i, j'ai dans les deux cas [tex]|z| =5[/tex], cercle de centre O et de rayon r = 5.
Et si je donne z =x+iy, x et y étant deux nombres réels, j'ai [tex]r =|z| =\sqrt{x^2+y^2}[/tex], centre O et rayon r...

@+

vanessa91 · 31-10-2009 22:33:27

ok mercii beaucoup

metalix · 07-11-2009 18:33:29

slt a tous
biin jai lu tes reponses Mr yoshi..é chui vraiment étoné dee la façon ac la quelle tu explique
merci

yoshi · 07-11-2009 19:26:45

Salut,
(sans abréviation type SMS et je n'ai que 2 lettres de plus, une misère, quoi !)

Et bien si ça te convient, c'est parfait. Le contraire m'aurait beaucoup chagriné...

Merci à toi

@+

PS
Et laisse tomber le Mr, c'est bien trop cérémonieux.
Et puis d'abord Mr, c'est l'abréviation de l'anglais Mister, l'abréviation de Monsieur, c'est M. , ah mais !! ;-)

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