fonction de classe C1 [Résolu]

tibo · 29-10-2009 19:51:46

Bonjour,

dans mon cours la définition d'une fonction de classe C1 est:
[tex]Pour\ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\ f\ C^1\ <=>\ \forall i\in \{ 1,...,n\} ,\ \frac{\delta f}{\delta x_i}\ existe\ et\ est\ continue[/tex]

dans mon dm je dois montrer que la fonction [tex]P_k:M\in M_n(\mathbb{R}) \mapsto M^k[/tex] est de classe C1
je ne vois pas comment étendre la défition pour R^n à l'espace des matrices

Ou alors dois-je utiliser que f C1 <=> la dérivée/différentielle (depuis deux ans, j'ai toujours pas compris la différence) existe et est continue
dans ce cas dois-je montrer que
1)[tex]\forall M\in M_n(\mathbb{R}),\ P_k'(M):H\mapsto \sum_{j=0}^{k+1} M^jHM^{k-1-j}[/tex], soit la différentielle en M est continue, mais c'est évident par définition
ou bien
2)[tex]P_k':M\mapsto P_k'(M)[/tex] est continue, mais là ça me parait beaucoup plus dur
?

merci d'avance

thadrien · 29-10-2009 20:55:24

Salut,

je ne vois pas comment étendre la défition pour R^n à l'espace des matrices

Pour étendre ta définition de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] à [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex], tu assimile une matrice à ses coordonnées dans la base canonique des matrices.

Ou alors dois-je utiliser que f C1 <=> la dérivée/différentielle (depuis deux ans, j'ai toujours pas compris la différence) existe et est continue

La différentielle d'une fonction est appelée dérivée par certains. C'est pas impossible que ce soit la même chose pour ton prof. A part cela, ça me semble être une bonne manière de procéder.

Ou alors dois-je utiliser que f C1 <=> la dérivée/différentielle (depuis deux ans, j'ai toujours pas compris la différence) existe et est continue
dans ce cas dois-je montrer que
1)[tex]\forall M\in M_n(\mathbb{R}),\ P_k'(M):H\mapsto \sum_{j=0}^{k+1} M^jHM^{k-1-j}[/tex], soit la différentielle en M est continue, mais c'est évident par définition
ou bien
2)[tex]P_k':M\mapsto P_k'(M)[/tex] est continue, mais là ça me parait beaucoup plus dur
?

Là, je crois n'avoir pas tout compris. Quoi qu'il en soit, tu peux sûrement procéder par récurrence sur k : ça à l'air de fonctionner, du moins sur mon brouillon.

A bientôt.

Fred · 29-10-2009 22:27:56

tibo a écrit :

Ou alors dois-je utiliser que f C1 <=> la dérivée/différentielle (depuis deux ans, j'ai toujours pas compris la différence) existe et est continue
dans ce cas dois-je montrer que
1)[tex]\forall M\in M_n(\mathbb{R}),\ P_k'(M):H\mapsto \sum_{j=0}^{k+1} M^jHM^{k-1-j}[/tex], soit la différentielle en M est continue, mais c'est évident par définition
ou bien
2)[tex]P_k':M\mapsto P_k'(M)[/tex] est continue, mais là ça me parait beaucoup plus dur
?

C'est le 2) que tu dois démontrer. D'abord, en dimension finie, une application linéaire est toujours continue.
Et même si on t'a donné la définition de différentiabilité en dimension infinie (avec des espaces de Banach, mais ca m'étonnerait), on demande alors à ce que la différentielle soit linéaire et continue.

Pour démontrer 2), ce n'est pas si compliqué. Tu remarques que
[tex]P_k'(M)(H)-P_k'(N)(H)=\sum_{j=0}^{k+1}M^j HM^{k-1-j}-\sum_{j=0}^{k+1}N^j HN^{k-1-j}[/tex]
soit
[tex]P_k'(M)(H)-P_k'(N)(H)=\sum_{j=0}^{k+1}(M^j-N^j)HM^{k-1-j}-\sum_{j=0}^{k+1}N^j H(M^{k-1-j}-N^{k-1-j}[/tex].

Tu trouves alors, en utilisant l'inégalité triangulaire, que
[tex]\|P_k'(M)-P_k'(N)\|\leq \sum_{j=0}^{k+1}\|M^j-N^j\|\|M^{k-1-j}\|+\sum_{j=0}^{k+1}\|N^j\|\|M^{k+1-j}-N^{k+1-j}\|.[/tex]

De plus, par continuité des applications [tex]P_k[/tex], tu sais que lorsque N tend vers M, alors
pour chaque j, [tex]\|M^j-N^j\|[/tex] tend vers 0.
En arrangeant un peu le tout, on obtient que [tex]\|P'_k(M)-P_k(N)\|[/tex] tend vers 0 lorsque N tend vers M.

Cela dit, la méthode suggérée par thadrien (par récurrence) est aussi une bonne idée. On peut commencer
par prouver que
[tex](A,B)\mapsto AB[/tex], de [tex]M_n(\mathbb R)\times M_n(\mathbb R)[/tex] dans [tex]M_n(\mathbb R)[/tex]
est de classe C^1. Pour elle, c'est plus facile car on peut calculer explicitement les dérivées partielles, et il est clair qu'elles sont continues.
On prouve ensuite que P_2 est C^1, puis P_3,...

Fred.

tibo · 30-10-2009 00:15:33

Re, merci beaucoup

en effet, pas si dur que ça.

Jusqu'à maintenant je me débrouillais en en appliquant sans vraiment comprendre, donc forcément dès qu'on gratte un peu, je galère.

Et je pense on a vu la définition de la différentiabilité meme en dimension infinie
f diffèrentiable en x <=> il existe L(x) application linéaire et continue tel que f(x+h)-f(x)-L(x)h=o(h)
en dimension finie, la continuité est inutil
en dimension infinie, il suffit de montrer que L(x) bornée sur la boule unité

merci encore à tous les deux

Dernière modification par tibo (30-10-2009 08:42:17)

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