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Ch0uu

Invité

DM Divisibilité dans Z [Résolu]

Bonjour,

Je rencontre quelques difficultés pour mon DM de Maths Spé sur la Divisibilité dans Z.
L'exercice nous propose d'étudier la question " Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers?".
Pour tout entier naturel p supérieur ou égal a 2, on pose N=1...1 où 1 apparait p fois. On pose N(p)=10^(p-1)+10^(p-2)+...+10^0.

On nous demande dans la suite de l'exercice de prouver que N(p)=((10^p)-1)/9. Je ne vois pas la démarche à réaliser ici.

Enfin un peu plus loin dans l'exercice, on pose p=3q et on nous demande de prouver que N(p) est divisible par N(3)=111. Pour cette question j'ai posé directement N(3q)/N(3)=10^(3q-3)+10^(3q-4)+...+1. J'en ai conclu que ce résultat appartenait à N et donc que N(3q) était divisible par N(3). Ma démarche est-elle la bonne?

Merci d'avance.

Fred

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Re : DM Divisibilité dans Z [Résolu]

Bonsoir,

  Pour ta première question, il y a deux solutions :
1. Tu peux prouver la relation par récurrence sur p.
2. Tu peux appliquer ton cours sur les sommes géométriques, si tu l'as déjà vu....

Pour la suite, ce serait correct si on avait effectivement la relation demandée.
Mais regarde avec une calculatrice ce que fait N(6)/N(3).
On trouve 1001.
Or, d'après ta formule, on devrait avoir 1111.

Fred.

Ch0uu

Invité

Re : DM Divisibilité dans Z [Résolu]

Merci pour votre réponse.

Que dois je donc faire pour la question avec 3q?

Fred

Administrateur

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Re : DM Divisibilité dans Z [Résolu]

Re-

  Il faut utiliser la première question et
il suffit de montrer que [tex]10^{3q}-1[/tex] est divisible par [tex]10^3-1[/tex].

Pour cela, on peut utiliser l'identité remarquable suivante :
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

(en remarquant bien sûr que 1^3=1...)

Fred.

Ch0uu

Invité

Re : DM Divisibilité dans Z [Résolu]

Merci beaucoup pour votre aide.