encore des borélien [Résolu]

tibo · 26-09-2009 17:49:59

Bonjour, je reviens avec mes boréliens et deux petites questions.

1) Montrer [tex]\Gamma \in B_{\mathbb{R}} <=> \Gamma \cap [a,b] \in B_{[a,b]} \ , \ a\le b finis[/tex]
2) Montrer [tex]\Gamma \in B_{[a,b]} => \Gamma [/tex] borélien en tant que sous-ensemble de R

1) sens direct "facile" en considérant l'ensemble [tex]B=\{ F\in B_{\mathbb{R}} / F \cap [a,b] \in B_{[a,b]} \}[/tex]
On montre que [tex]B=B_{\mathbb{R}}[/tex]
pour l'autre sens j'ai plus de mal. Je considère l'ensemble [tex]T=\{ F\in P(\mathbb{R} ) / F \cap [a,b] \in B_{[a,b]} \}[/tex]
T tribu
j'ai facilement [tex]B_{\mathbb{R}} \subset T[/tex]
mais l'autre inclusion est plus dure.

2) [tex]\Gamma \in B_{[a,b]}[/tex]
donc [tex]\Gamma[/tex] union dénombrable d'ouverts de [a,b]
or [a,b] \in P(R)
donc [tex]\Gamma[/tex] union dénombrable d'ouverts de R
donc[tex]\Gamma \in B_{\mathbb{R}}[/tex]

merci d'avance

freddy · 27-09-2009 11:34:53

Salut,

c'est quoi en fait la question ? C'est qui Gamma ?

Merci d'avance.

tibo · 27-09-2009 11:40:20

Gamma est un ensemble de R quelconque
et [tex]B_X[/tex] est le borélien de X

Dernière modification par tibo (27-09-2009 11:41:14)

Fred · 27-09-2009 22:14:20

Salut,

Pour 1, je dirais que T est une tribu qui contient tous les intervalles. Comme la tribu des boréliens est engendrée par les intervalles, tu as gagné.
Pour 2., tu ne peux pas vraiment dire qu'un ouvert de [a,b] est un ouvert de R -pense à [a,b] lui-même.
Je dirais plutot comme toi que [tex]\Gamma[/tex] est réunion dénombrable d'ensembles [tex]U_n[/tex],
où [tex]U_n[/tex] est un ouvert de [a,b] et donc [tex]U_n=O_n\cap[a,b][/tex] avec [tex]O_n[/tex] un ouvert de R. Mais cette dernière égalité montre que [tex]U_n[/tex] est un borélien de R, donc aussi [tex]\Gamma[/tex].

Fred.

tibo · 30-09-2009 21:27:47

Bonjour,

Je ne suis pas convaincu par ton explication pour la question 1)
Cela montre l'inclusion dans un sens mais pas dans l'autre.
T contient tout les intervalles donc contient B(R),
mais rien ne dit qu'il n'existe pas un ensemble appartenant à T et pas à B(R)

merci

Fred · 30-09-2009 22:18:52

Re-

Pour 1, on peut utiliser 2.

Tu dis que [tex]\Gamma=\bigcup_n [-n,n]\cap\Gamma[/tex].
Et [tex][-n,n]\cap\Gamma[/tex] est un borélien de [-n,n], donc de R d'après 2)

(évidemment, j'écris très vite sans vraiment réfléchir et je peux dire une énorme connerie).

Fred.

tibo · 30-09-2009 23:32:13

Re,
Pourquoi [tex][-n,n] \cap \Gamma [/tex] est-il un borélien? Si [tex]\Gamma[/tex] n'est pas un borelien, je ne vois pas de raison.

Fred · 01-10-2009 10:50:41

tibo a écrit :

Re,
Pourquoi [tex][-n,n] \cap \Gamma [/tex] est-il un borélien? Si [tex]\Gamma[/tex] n'est pas un borelien, je ne vois pas de raison.

parce que tu as supposé que [tex]\Gamma\cap[-n,n][/tex] est un borélien de [-n,n],
et tu utilises la deuxième question qui te dit qu'un borélien de [-n,n] est un borélien de [tex]\mathbb R[/tex].

tibo · 02-10-2009 20:09:56

Certe oui,
mais c'est quand meme embétant d'utiliser la question 2) pour répondre à la question 1)
L'exo est posé comme ça donc je pense que ce doit etre faisable dans le bon ordre.
Mais bon je vais pas me plaindre
Merci beaucoup

Fred · 02-10-2009 21:17:42

Mais non, c'est l'exercice qui est mal posé!!! :-)

tibo · 02-10-2009 21:30:39

ok merci beaucoup

Alex0 · 15-10-2009 18:04:01

Bonjour,

Ma remarque arrive un peu tard, mais je crois que Fred a lu un peu trop vite ce que tu as fait dans le 2).
En effet : un borelien ne peut pas toujours s'ecrire comme reunion d'ouverts, car comme toute reunion d'ouvert est un ouvert, la tribu borelienne ne contiendrait que des ouverts, ce qui est loin d'etre le cas. Pour faire le 2) on peut utiliser le fait que la tribu borelienne de [a,b] est engendree par les ouverts de [a,b] et que tout ouvert [tex] U [/tex]de [a,b] est un borelien de [tex] \mathcal{R} [/tex] puisqu'un tel ouvert [tex] U [/tex] est de la forme [tex] O\cap [a,b] [/tex] ou [tex] O [/tex] est un ouvert de [tex] \mathcal{R} [/tex].

Au passage, concernant la tribu [tex] \mathcal{B}_{[a,b]} [/tex], on peut montrer que :

[tex] \mathcal{B}_{[a,b]}=\{B\cap [a,b]\; / \; B\in \mathcal{B}_{\mathcal{R}}\}[/tex]

Ce qui signifie que les boreliens de [a,b] sont les traces sur [a,b] des boreliens de [tex] \mathcal{R} [/tex]. On retrouve en particulier le resultat du 2).

Alex.

[EDIT]
Merci à Fred d'avoir réparé les erreurs...
Alex0
Petite info : les balises tes se ferment avec le / : /tex et non \tex.
Un appui sur prévisualisation t'aurait évité ce problème de blocage de la discussion en cours en t'alertant...
Tâche d'y penser la prochaine fois...
Merci d'avoir apporté une réponse et bienvenue quand même sur BibM@th... ;-)

Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (15-10-2009 21:50:51)

Fred · 15-10-2009 22:17:03

J'avais bien dit que j'avais lu trop vite!!!!
Merci à toi.

Fred.

tibo · 15-10-2009 22:29:40

En effet...
merci beaucoup

et tu n'arrive pas trop tard, étant le seul de la classe à avoir fait cette exo, mon prof refuse de le corriger, et compte bien le mettre dans le prochain controle.
Il est bien ce prof non? C'est le meme qui m'avait répondu " c'est comme ça qu'on dit et c'est tout"

Fred · 15-10-2009 22:38:22

Tu es où cette année Tibo?

Fred.

tibo · 15-10-2009 22:48:34

en L3 math et L3 physique
eh oui j'ai raté les ENS et j'avais pas le courage de faire 5/2

Fred · 15-10-2009 23:01:05

Et tu es dans quelle université? (après, promis, j'arrête de parasiter la discussion - bon, mais après tout c'est mon site!).

F.

tibo · 15-10-2009 23:13:54

J'ai pris celle à coté de chez moi à cergy pontoise
mais je pense changer l'année prochaine

Dernière modification par tibo (15-10-2009 23:14:03)

Barbichu · 23-10-2009 01:10:52

Salut,
juste un mot vite fait en passant : tu n'as pas tenté de faire "auditeur libre" ? C'est une admission sur dossier et ensuite tu suis le même parcours qu'un normalien, la seule différence étant que tu n'es pas payé.
++

tibo · 28-10-2009 09:11:07

bonjour,

à vrai dire je ne me suis pas renseigné la dessus
faut que je vois si je peux faire ça l'année prochaine
merci

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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