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D'giu

Invité

Résolution équation différentielle [Résolu]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire dans lequel on me demande de résoudre cette équation:

(1 - x²)y''- xy' + y = 0

J'ai posé x=sin(t) et j'obtient donc:

z''+z'+z=0

J'ai résolu et cela donne:

z(t)=λ*exp(-(1/2)*x)*sin((1/2)*√(3)*x)+μ*exp(-(1/2)*x)*cos((1/2)*√(3)*x)

Mais comment retrouver la solution y(x)? De plus, cette technique ne marche que sur ]-1;1[, comment passer sur |R ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 056

Re : Résolution équation différentielle [Résolu]

Bonjour,

  D'abord, je ne suis pas d'accord avec l'équation que tu obtiens pour z.
Si je ne me trompe pas, tu as :
[tex]z(t)=y(\sin t)[/tex],
d'où
[tex]z''(t)=\cos^2(t)y''(\sin t)-\sin ty'(\sin t)[/tex]

et donc [tex]z''+z=0[/tex]

La solution est donc
[tex]z(t)=a\cos t+b\sin t[/tex]

Pour remonter à y, il suffit de passer à l'arcsinus!
[tex]y(x)=z(\arcsin x)=a\cos\arcsin x+b\sin\arcsin x=a\sqrt{1-x^2}+bx.[/tex]

On peut alors vérifier (je ne l'ai pas fait...) qu'on obtient bien une solution, et ce sont toutes les solutions
sur ]-1,1[.
Si on cherche les solutions sur [tex]\mathbb R[/tex], on remarque d'abord que l'on ne sait pas quelle est la taille de l'ensemble des solutions, puisque (1-x²) s'annule en 1 et en -1. On doit résoudre l'équation sur ]-oo,-1[,
sur ]-1,1[, puis sur ]1,+oo[, puis recoller les solutions.

Pour les autres intervalles, il faut faire pareil en posant x=ch(t). Tu devrais trouver l'équation z''-z=0.

Bon courage...

Fred.

D'giu

Invité

Re : Résolution équation différentielle [Résolu]

Bonjour,

  D'abord, je ne suis pas d'accord avec l'équation que tu obtiens pour z.
Si je ne me trompe pas, tu as :
[tex]z(t)=y(\sin t)[/tex],
d'où
[tex]z''(t)=\cos^2(t)y''(\sin t)-\sin ty'(\sin t)[/tex]

et donc [tex]z''+z=0[/tex]

La solution est donc
[tex]z(t)=a\cos t+b\sin t[/tex]

Pour remonter à y, il suffit de passer à l'arcsinus!
[tex]y(x)=z(\arcsin x)=a\cos\arcsin x+b\sin\arcsin x=a\sqrt{1-x^2}+bx.[/tex]

On peut alors vérifier (je ne l'ai pas fait...) qu'on obtient bien une solution, et ce sont toutes les solutions
sur ]-1,1[.
Si on cherche les solutions sur [tex]\mathbb R[/tex], on remarque d'abord que l'on ne sait pas quelle est la taille de l'ensemble des solutions, puisque (1-x²) s'annule en 1 et en -1. On doit résoudre l'équation sur ]-oo,-1[,
sur ]-1,1[, puis sur ]1,+oo[, puis recoller les solutions.

Pour les autres intervalles, il faut faire pareil en posant x=ch(t). Tu devrais trouver l'équation z''-z=0.

Bon courage...

Fred.

Tu avais raison, je me suis trompé dans l'équation équivalente et donc je n'arrivais pas retrouver y(x).
Merci beaucoup pour ton aide précieuse.

D'giu

Invité

Re : Résolution équation différentielle [Résolu]

J'ai un autre problème si tu peux m'aider ca serait sympa.
Je dois écrire cette expression sous forme plus simple:
[tex]\sum^{n}_{k=1}{\cos }^{k}\oplus .\cos \left(k.\oplus \right)[/tex]

J'ai réussi jusqu'à cette forme mais après je ne sais pas comment aller plus loin:
[tex]Re\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{{2}^{k}}{\left({e}^{2i\oplus }+ 1\right)}^{k}[/tex]

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 056

Re : Résolution équation différentielle [Résolu]

Salut,

  C'est la somme d'une série géométrique de raison
[tex]\frac{(e^{2i\oplus}+1)}{2}[/tex].
Tu n'as qu'à appliquer une formule...

Fred.
PS: A l'avenir, ouvre un autre sujet pour poser une nouvelle question.
Pour permettre de se retrouver dans les archives, un sujet, une question...