Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

Besoind'aide · 23-09-2009 20:34:30

Bonsoir,

Pouvez-vous m'aider à répondre à un problème SVP:
Michel veut construire une maison rectangulaire de 150m carrés. Afin de minimiser le coût, il veut minimiser le périmètre de la maison. Quelles sont les dimensions idéales de la maison?

(P.S: niveau seconde)

yoshi · 23-09-2009 21:16:31

Bonsoir,

Niveau seconde ???? Impossible les justifications mathématiques nécessaires dépassent ce niveau...
On va essayer de ruser quand même
J'appelle x et y les dimensions du rectangle
on a : xy = 150 donc y = 150/x
J'appelle p(x) le périmètre exprimé en fonction de x : [tex]p(x) = 2(x + {150 \over x})[/tex]
Et maintenant, il te faudrait étudier cette fonction pour en trouver le minimum...
Tu vas expliquer que tu vas faire varier x de 1 m à [tex]\sqrt{150}[/tex] m, au delà x reprend les valeurs de y et réciproquement
Tu vas faire un tableau de valeurs de pour x variant de 1 à 13 par pas de 1 (la racine de 150 est comprise entre 12 et 13)
(Tu peux faire ça avec un tableur : c'est ce que j'ai fait :

  1       2      3      4      5     6     7     8     9    10    11    12    13

302,00  154,00 106,00  83,00 70,00 62,00 56,86 53,50 51,33 50,00 49,27 49,00 49,08

Et tu peux constater que la valeur du périmètre diminue régulièrement jusqu'à 12 puis augmente de nouveau.
Tu pourrais refaire un tableau entre 12 et 12 pas pas de 0,1 m : tu observerais le phénomène de décroissance de 12 à 12,2 puis de croissance de 12,3 à 13.
Là, tu pourrais refaire le même travail entre 12,2 et 12,3 par pas de 0,01 m et tu constaterais que le minimum est atteint entre x = 12,24 et 12,25 m...
Mais tu ne va pas refaire ces calculs...
Tu vas argumenter en disant que très probablement, le périmètre minimum est obtenu lorsque la maison est carrée... Donc [tex]x=\sqrt{150}\approx 2.2474...\; m[/tex] et comme c'est de la maçonnerie tu arrondiras à 12,25 m par excès. Le cm étant une précision suffisante pour le gros oeuvre d'une maison...

@+

PS
On pourrait peut-être contourner le problème en disant que cela revient à demander : le périmètre ayant une valeur donnée, quelle est la forme qui donne la surface maximum, rectangle ou carré ?
Soit p = 20 (par exemple), p=2(x+y) = 50 d'où x + y = 10 et y = 10 - x.
L'aire s'écrit x(10-x) = -x² + 10x
Tu traces la courbe représentative de la fonction f(x) = -x²+10x entre x = 1 et 10 (Elle est quand même plus de ton niveau).
Et tu constates que le maximum est obtenu pour x = 5, donc quand la maison est carrée...
Et tu enchaînes sur le calcul de x quand xy = x² = 150...
Tu fais comme tu veux...

Sinon, quelqu'un a une autre idée ?

Besoind'aide · 23-09-2009 21:42:01

Bonsoir,

Merci encore une fois pour ton aide.
A+

freddy · 23-09-2009 23:33:11

Salut,

je suis un peu surpris par l'énoncé, car le coût de construction est fonction du mètre carré habitable (SHON), et pas du mètre linéaire.

Sinon, rien à ajouter à yoshi qui a bien renversé le pb : surface max. sous contrainte du périmètre.

ABB · 24-09-2009 23:42:07

Salut tout le monde

je crois que la résolution de ce problème peut se faire simplement en se reférant à l'inégalité de la moyenne : [tex]2\sqrt{xy}\leq x+y[/tex]

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-09-2009 20:34:30

Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

#2 23-09-2009 21:16:31

Re : Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

#3 23-09-2009 21:42:01

Re : Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

#4 23-09-2009 23:33:11

Re : Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

#5 24-09-2009 23:42:07

Re : Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu]

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