fonction borélienne [Résolu]

tibo · 19-09-2009 18:05:57

Bonjour tout le monde,

ça fait longtemps, très longtemps meme
les cours ont repris, et je reviens avec un petit exo

Vérifier que les applications de R dans R suivantes sont boréliennes:
1) [tex]E(x)=max \{m \in \mathbb{Z} / m \le x\}[/tex]
2) [tex]f(x)=e^x \ si \ x\in \mathbb{Q}\ et\ f(x)=\frac{1}{x} \ sinon[/tex]
3) [tex]g(x)=inf_{n\in \mathbb{N}}(sin(e^n*x))[/tex]

1) la on reconnait la fonction partie entière
j'ai essayé de la redéfinir comme limite d'une suite d'applications mesurables.
[tex]E_n(x)=\sum_{i=0}^{n} \chi_{[i,i+1]}*i[/tex]
ou [tex]\chi_X[/tex] fonction caractéristique de X
je pense que En est mesurable,mais je ne sais pas comment le montrer.

2)comme Q dense dans R
[tex]\forall \alpha ,\ f^{-1}(]-oo, \alpha[)[/tex] est une réunion de singletons donc appartiens à la tribu borélienne de R
donc f mesurable

3) aucune idée

Merci d'avance et bonne rentrée a tous

thadrien · 19-09-2009 19:11:25

Salut,

Pour le 1 :
* On reconnait la fonction partie entière. Elle est continue partout, sauf en un nombre dénombrable de points, où les limites à gauche et à droite existent. Donc elle est mesurable.

Pour le 2 :
* Écris f sous la forme [tex]f(x) = \chi_Q \cdot e^x + \chi_{R - Q} \cdot \frac{1}{x}[/tex]. Par produit et somme de fonctions mesurables, f est mesurable.

Pour le 3 :
* Pour tout n de N, [tex]x \rightarrow sin \left (e^n \cdot x \right)[/tex] est mesurable.
* g est l'inf de fonctions mesurables.
Donc g est mesurable.

A+

Hadrien

Dernière modification par thadrien (19-09-2009 19:13:33)

freddy · 20-09-2009 10:45:04

Salut,

Hadrien, en un mot comme en cent : splendide !

C'est comme pour les pbs de continuité, différentiabilité, ... il faut utiliser toutes les propriétés des sommes, produits, quotients, ... de fonctions ayant la même propriété générique. C'est le B A ba de la notion de structure algébrique. Sinon, ça sert à quoi que les algébristes se décarcassent.

Tschüss

tibo · 20-09-2009 10:45:50

merci

comment tu sais que [tex]\chi_{\mathbb{Q}}\ et\ \chi_{\mathbb{R}- \mathbb{Q}}[/tex] sont mesurables?

edit: ha en meme temps Freddy
en effet mais on viens de commencer le cours et je n'ai pas encore toute les propriétés
de plus les notions de tribu et de borélien sont totalement nouvelles pour moi, donc il me faut un petit temps d'adaptation

Dernière modification par tibo (20-09-2009 10:49:12)

thadrien · 20-09-2009 11:29:08

tibo a écrit :

comment tu sais que [tex]\chi_{\mathbb{Q}}\ et\ \chi_{\mathbb{R}- \mathbb{Q}}[/tex] sont mesurables?

La fonction indicatrice d'un ensemble A est mesurable si et seulement si l'ensemble appartient à la tribu des boréliens.

A freddy : merci !

tibo · 21-09-2009 20:11:27

merci beaucoup

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fonction borélienne [Résolu]

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