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adrien

Invité

résolution d'équation complexe [Résolu]

Bonsoir,

le but de mon exercice est de résoudre une équation [tex]({\frac{i+z}{i-z}})^{n}=\,a[/tex]
(a et z des complexes) (n entier naturel non nul)

dans les premières questions on a montré que |a|=1 est une condition nécessaire pour que l'équation ait au moins une solution réelle
on choisi finalement de ne garder que le cas ou |a|=1 on peut donc écrire a=e^i\alpha (\alpha réel)

en posant Z=(i+z)/(i-z) et en appliquant la formules pour les racines n-ième d'un nombre complexe puis après divers calculs j'obtiens les solutions:

[tex]{z}_{k}=i\times \frac{{e}^{\frac{\alpha }{n}+\frac{2\times k\times \pi }{n}}-1}{{e}^{\frac{\alpha }{n}+\frac{2\times k\times \pi }{n}}+1}[/tex]

ce qui équivaut d'après ma calculette à:

[tex]{z}_{k}=\,-\tan \left(\frac{\alpha +2\times k\times \pi }{2\times n}\right)[/tex]

mon premier problème vient du fait que je n'arrive pas à arriver à cette dernière expression mais je vais mettre ca sur le compte de la fatigue, je retenterai demain :)

Mais mon principal problème est de savoir ce que je fais avec ce 'tan' rempli de variables!

l'énoncé me demande de montrer que les solutions sont réelles, ca ce n'est pas trop dur ^^ mais on me demande combien il y a de solutions et combien sont distinctes deux à deux.. Et là ben je seche!

adrien

Invité

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Ah! jai oublié le merci... :)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 049

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

'jour,

  Pour la première partie de ta question, c'est facile.
Tu dois remarquer que [tex]1=e^{i0}[/tex] puis factoriser le numérateur
et le dénominateur par l'angle moitié, à savoir [tex]e^{i\frac{\alpha+2k\pi}{n}}[/tex]
Tu fais alors apparaitre au numérateur une différence de deux exponentielles qui ont le même
angle, et au dénominateur une somme de deux exponentielles qui ont le même angle.
Tu conclus alors à l'aide des formules d'Euler.

Déjà là, il y a un premier problème. Si [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{2k\pi}n[/tex]
pour un certain k entre 0 et n-1 (on peut toujours supposer que k est parmi ces entiers-là),
la tangente n'est pas définie. Il faut étudier ce cas à part, et déjà avant ca déconne.

Sinon, tu as n solutions et tu veux savoir combien sont distinctes. L'idée est d'utiliser que
tan x = tan y si et seulement x-y est un multiple de pi.

Tu prends donc 0<=k<l<n et tu cherches à savoir quand est-ce que
[tex]\tan(\alpha+2k\pi/n)=\tan(\alpha+2l\pi/n)[/tex]
Remarque d'abord que [tex](\alpha+2l\pi/n)-(\alpha+2k\pi/n)=2(l-k)\pi/n[/tex]
est dans l'intervalle [tex]]0,2\pi[[/tex]

D'après la remarque que j'ai faite avant sur tan x = tan y,
on a
[tex]\tan(\alpha+2k\pi/n)=\tan(\alpha+2l\pi/n) \iff \alpha +2l\pi/n=\pi+\alpha+2k\pi/n[/tex]
soit [tex]l=k+n/2[/tex]

Là, il faut distinguer suivant si n est pair ou impair :
*si n est impair, cela n'arrive jamais, et on a n solutions.
*si n est pair, on a les solutions distinctes correspondant à 0,...,n/2-1,
puis les solutions correspondant à n/2,...,n-1 sont égales aux précédentes.
On a donc n/2 solutions disctinctes....

J'imagine que c'est un exo de début de sup. C'est pas le plus facile!

Fred.

adrien

Invité

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Merci pour ta réponse :)

J'ai oublié de te donner quelques informations concernant les conditions initiales, on pose a différent de 1 et -1 ce qui implique  [tex]\alpha \;\noteq \,0\;et\;\pi[/tex] je pense que ca doit débloquer la situation.

D'autre part je ne sais pas si cela a une conséquence sur le résultat mais on pose  [tex]\alpha \,\in \left[0\,;\,2\pi \left[[/tex] .  Je ne sais pas si on a le droit de supprimer le "k" avec cette information ce qui simplifierait énormément la chose :D mais je ne pense pas. (on sait jamais)

D'autre part le résultat n'est pas  [tex]{z}_{k}\,=\,-\tan \left(\alpha +\frac{2k\pi }{n}\right)\,\,\,mais\,\,\,{z}_{k}=\,-\tan \left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{k\pi }{n}\right)[/tex]

J'imagine que cela change tout le raisonnement avec n pair ou impaire! Mais j'ai compris le raisonnement donc c'est l'essentiel.

et merci pour la méthode de comparaison tan(y)=tan(x) <=> x-y multiple de pi je n'y avais pas pensé!

adrien

Invité

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Il faut comprendre  [tex]\alpha[/tex] différent de [tex]\left(0\,et\,\pi \right)[/tex] pour la 3è ligne.

By the way le signe différent ne marche pas sur l'éditeur d'équation

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 16 991

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Salut,

Exact, "différent de" ne marche pas... Je transmets à Fred. Probablement est-ce dû au changement de serveur Latex.
Dans ce cas c'est très simple !
1 Tu édites ton message,
2. Tu repères sur la ligne incriminée le code \noteq que tu remplaces par \not =.
Cela n'est possible évidemment que si tu es membre.

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 049

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Evidemment, avec la nouvelle expression de [tex]z_k[/tex], ca simplifie un peu la donne...
Je prends bonne note pour l'éditeur d'équation.

Fred.

adrien

Invité

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Bon en fait je suis pommé lol

On a  [tex]{z}_{k}=\tan \left(\frac{\alpha +2k\pi }{2n}\right)[/tex]

Il faut que [tex]\left(\frac{\alpha +2k\pi }{2n}\right)[/tex] soit différent de  [tex]\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)[/tex] pour que la tangente soit définie.

j'obtiens donc  [tex]\alpha[/tex] différent de  [tex]\pi \,\times \left[n\times \left(1+2k\right)-2k\right][/tex]
mais je ne sais pas quoi tirer de ca.. Dois-je laisser tel quel? ou me suis-je trompé qqpart

Sinon pour la distinctions des solutions je pense pouvoir me débrouiller avec tes explications.
merci

adrien

Invité

Re : résolution d'équation complexe [Résolu]

Pour voir si les solutions sont distinctes deux à deux on pose:

[tex]\tan \,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{l\,\times \,\pi }{n}\right)\,=\,\tan \,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{k\,\times \,\pi }{n}\right)[/tex]

On remarque que: [tex]\,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{l\,\times \,\pi }{n}\right)\,-\,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{k\,\times \,\pi }{n}\right)\,=\,\frac{l\,-\,k}{n}\times \,\pi[/tex]

Or  [tex]0\leq \,k\,<\,l\,<\,n[/tex]

Donc  [tex]0\,<\,\frac{l\,-\,k}{n}\,\times \,\pi <\,\pi[/tex]

Donc  [tex]\,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{l\,\times \,\pi }{n}\right)\,-\,\left(\frac{\alpha }{2n}+\frac{k\,\times \,\pi }{n}\right)\[/tex]  ne peut jamais être un multiple de pi

donc toutes les n solutions sont distinctes deux à deux!

est ce correct ?

Merci.
bonne soirée