equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

catalanschröder · 25-08-2009 16:40:16

Bonjour,
pourrais-je avoir une solution ou une indication pour l'exercice (Oral Mines 2002):

Soit q une fonction de [tex]\ R^+\[/tex] vers R continue et intégrable. Soit f une solution non nulle de l'équation différentielle
[tex]\ y''+(1+q)y=0\[/tex].
Montrer qu'il existe [tex]\quad \rho : R^+ \longmapsto R^{*+}\quad et \quad \theta : R^+ \longmapsto R\[/tex] telles que
[tex]\ f=\rho \cos \theta \quad et \quad f'=\rho \sin \theta\[/tex].

c'est l'exercice 1241 du document "lycée Chateaubriand MP* oraux des concours 1997-2003 " que, malheureusement on n'arrive plus à ouvrir sur internet (bien qu'il y apparaisse encore); je peux toutefois envoyer ce fichier à toute personne le demandant.
merci

Dernière modification par catalanschröder (26-08-2009 19:30:49)

thadrien · 25-08-2009 17:41:22

Bonjour,

Franchement, ton message est illisible. Peux-tu écrire en TeX ?

Merci

yoshi · 25-08-2009 18:20:56

Bonsoir,

Thadrien, j'ai bien l'impression que c'est ce qu'il a voulu faire... Seulement LaTeX en tant que tel et LaTex pour un forum, c'est un petit peu différent.
C'est pourquoi, je suggère à notre ami
- soit de consulter ce lien Code LaTex pour faire du Latex "à la main",
- soit de cliquer le bouton Insérer une équation donnant accès à l'applet JAVA mis au point par Fred.

@+

freddy · 25-08-2009 18:22:08

catalanschröder a écrit :

Bonjour,
pourrais-je avoir une solution ou une indication pour l'exercice (Oral Mines 2002):
Soit q une fonction de [tex]\mathbb{R}^+[/tex] vers [tex]\mathbb{R}[/tex] continue et intégrable.
Soit f une solution non nulle de l'équation différentielle :
y''+(1+q)y=0
Montrer qu'il existe [tex]\rho : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{*+}[/tex] et [tex]\theta : \mathbb{R}^+ \to\mathbb{R}[/tex] telles que
[tex]f=\rho \cos \theta[/tex] et [tex]f'=\rho \sin \theta[/tex]
merci

yoshi · 25-08-2009 18:24:02

Merci freddy d'avoir confirmé mes "soupçons"...

freddy · 25-08-2009 18:35:53

De rien, ce fut un plaisir car en effet, ce texte se lisait assez bien.

Bb

Dernière modification par freddy (26-08-2009 17:38:08)

thadrien · 25-08-2009 18:38:36

yoshi a écrit :

Thadrien, j'ai bien l'impression que c'est ce qu'il a voulu faire... Seulement LaTeX en tant que tel et LaTex pour un forum, c'est un petit peu différent.

Autant pour moi. J'ai pas reconnu les balises TeX englobantes.

En ce qui concerne la question, j'avoue ne pas tout à fait comprendre le truc... En effet, pour tout x et pour tout y, il existe rho et phi tels que x = rho cos(theta) et y = rho sin(theta). Il suffit, tel que le problème est formulé, de montrer que rho est non nul.

Je me demande si il n'y a pas une erreur d'énoncé ou un oubli.

A+

Dernière modification par thadrien (25-08-2009 18:45:39)

freddy · 26-08-2009 17:38:56

'lut

non, me semble complet, le sujet ...

(...)

freddy · 29-08-2009 17:28:25

Hello,

voici comment on procède.

pour tout x >= 0, l'hypothèse sur f conduit à avoir :

[tex] f(x)=\rho(x)\cos(\theta(x)) [/tex] et :

[tex] f'(x)=\rho'(x)\cos(\theta(x))-\rho(x)\theta'(x)\sin(\theta(x)) [/tex]

On en déduit que :

[tex] \rho(x)= C > 0[/tex]

[tex] \theta(x) = -x[/tex]

Et puisque f est solution de l'équation différentielle, on montre que q(x) = 0 pour tout x >= 0 (car f"=-f)

On a donc bien montré l'existence des deux fonctions réelles permettant de construire f solution de l'équation différentielle (en vérifiant domaine de définition et ensemble image)

(...)

Dernière modification par freddy (30-08-2009 10:02:30)

catalanschröder · 30-08-2009 19:37:55

freddy a écrit :

Hello,
voici comment on procède.
pour tout x >= 0, l'hypothèse sur f conduit à avoir :
[tex] f(x)=\rho(x)\cos(\theta(x)) [/tex] et :
[tex] f'(x)=\rho'(x)\cos(\theta(x))-\rho(x)\theta'(x)\sin(\theta(x)) [/tex]
On en déduit que :
[tex] \rho(x)= C > 0[/tex]
[tex] \theta(x) = -x[/tex]
Et puisque f est solution de l'équation différentielle, on montre que q(x) = 0 pour tout x >= 0 (car f"=-f)
On a donc bien montré l'existence des deux fonctions réelles permettant de construire f solution de l'équation différentielle (en vérifiant domaine de définition et ensemble image)

(...)

Je ne vois absolument pas pourquoi la fonction q devrait être nulle (ni en quoi l'hypothèse d'intégrabilité de cette fonction intervient). En prenant comme fonction q la fonction x->exp(-x) qui est continue et intégrable sur R+ et comme conditions initiales f(0)=1 et f'(0)=2 et en demandant à maple de représenter la solution de l'équation différentielle et sa dérivée on trouve bien des graphes qui ressemblent à ce que demande l'énoncé et la fonction rho qui associe à x la racine carrée de la somme des carrés de f(x) et de f'(x) n'est pas constante!!

affaire à suivre

amicalement à tous

freddy · 30-08-2009 19:53:16

Re,

et que vaut Theta ?

L'exo dit "Montrer qu'il existe Rho et Theta telles que" ... il ne demande pas de formuler des hypothèses supplémentaires sur la fonction q, dont la continuité et l'intégrabilité assure une certaine régularité pour ne pas rendre l'équation différentielle erronée, ni, non plus, sur f(0) et f'(0) (mais je sais que Maple en a besoin, lui).

La nullité de q est la conséquence des hypothèses relatives à f et f' (f étant une solution de l'eq. diff.)

Et je ne suis pas certain que tu aies droit à Maple à l'oral d'un concours ... qui ne prend pas beaucoup de temps.

(...)

Dernière modification par freddy (31-08-2009 13:40:30)

thadrien · 30-08-2009 20:41:03

q est donnée : on n'a pas le droit de la modifier.

aaadouani ines · 02-09-2009 11:15:32

bonjour,
désolé cher freddy mais tu est entrain de faire des déductions sans avoir aucun raisonnement complet!!
bon j ai vu ce genre d'équation diff, je pourais te dire ce que je connais peut étre elle t'aidera à resoudre ce probléme!!

il faut qu'il te donne d'abord une solution particuliére Y(1) , alors cY(1)( avec c est une const) est aussi une solution,par la méthode de la variation de la constante tu determine c(x) donc Y(2)=c(x)Y(1) est une solution. enfin la solution générale y est une combinaisons linéaire de Y(1) et Y(2).

bon j essayé avec ces données j ai pas pu repondre a ton probléme, essaye toi peut étre tu truvera qlq chose.

merci.

freddy · 03-09-2009 11:57:47

Bonjour,

je vais la faire autrement.

Pour tout x tel que y = f(x) est non nul, on a (équation à variables séparées) :

[tex]\frac{y"}{y} = -(1+ q)[/tex]

Sur la base des hypothèses sur f et f', on déduit que f"/f = - 1, donc ...

S'il y a mieux, je suis preneur, bien entendu.

Bb

freddy · 15-09-2009 21:00:42

Salut,

autre approche : connaissant f, on déduit alors la forme de rho et thêta comme suit :

[tex]\rho\times \rho = f\times f + f'\times f'[/tex]

[tex]\theta = \arctan(\frac{f'}{f})[/tex]

Et ensuite ? ... Je suis d'accord : que fait la fonction q dans l'histoire ?

(...)

freddy · 16-09-2009 15:21:15

Re,

sous ce lien http://www.iut-bethune.univ-artois.fr/s … adif2.html tu devrais trouver tout ton bonheur.

Bonne chance.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 25-08-2009 16:40:16

equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

#2 25-08-2009 17:41:22

Re : equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

#3 25-08-2009 18:20:56

Re : equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

#4 25-08-2009 18:22:08

Re : equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

#5 25-08-2009 18:24:02

Re : equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu]

#6 25-08-2009 18:35:53

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#7 25-08-2009 18:38:36

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#8 26-08-2009 17:38:56

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#9 29-08-2009 17:28:25

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#10 30-08-2009 19:37:55

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#11 30-08-2009 19:53:16

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#12 30-08-2009 20:41:03

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#13 02-09-2009 11:15:32

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#14 03-09-2009 11:57:47

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#15 15-09-2009 21:00:42

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#16 16-09-2009 15:21:15

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