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Damien R

Invité

Equatin différentielle [Résolu]

Bonjour

Je cherche à étudier le comportement théorique du modèle bio-mécanique de Hunt-Crossley en fluage.
Pour celà je dois résoudre l'équation différentielle suivante:

c = a*x^n*dx/dt + b*x^n

assimable à celle-ci: dx/dt =a.x^m + b

où c, a et b sont des réels constants , et n un entier positif constant et m un entier négatif constant
x est une fonction du temps dont nous ne conaissons que la valeure initiale.

Est-ce résolvable? Si oui, comment?

Merci d'avance

(PS: désolé pour la police de l'équation, mais j'ai des problèmes de Java sur le pc où je travaille)

Fred

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Bonjour,

  J'espère ne pas me tromper cette fois...
C'est une équation de Bernoulli il me semble, que l'on sait résoudre, la résolution est expliquée ici.
L'idée est de poser [tex]y=x^{1-m}[/tex] et de retrouver une équation différentielle linéaire en y.

Fred.

Damien R

Invité

Re : Equatin différentielle [Résolu]

Tout d'abord merci Fred pour ta réponse.

J'ai déjà essayé mais ça ne convient pas à une équation de bernoulli.

En effêt, j'ai dx/dt =a.x^m + b au lieu de dx/dt =a.x^m + b.x  , ce qui fait que le dernier terme pose problème lors de la simplification efféctuée grâce au changement de variable, changement de variable qui s'avère du coup inéfficace...

Fred

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Flute! J'ai encore lu trop vite!
Désolé!

Roro

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Bonsoir,

Une indication rapide : j'ai l'impression que ça ne se résout pas explicitement pour des réels a, b, ... quelconques.
En fait, résoudre l'équation est équivalent à trouver la réciproque de primitive de fractions rationnelles de la forme [tex]\frac{1}{1 \pm x^n},[/tex] ce qui n'est sans doute pas possible (car une primitive dans ce cas est une fonction "spéciale").

Roro.

JJ

Membre

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Pour préciser la réponse de Roro:
t(x) = a*primitives de (x^n)/(c-b*(x^n))
il s'agit d'une fonction "Beta incomplète"
Sa réciproque x(t) s'exprime donc formellement avec une fonction "argument Beta incomplète", que l'on rencontre par exemple en statistique et qui est implémentée dans les logiciels de calculs numériques spécialisés dans ce domaine des mathématiques.

Damien R

Invité

Re : Equatin différentielle [Résolu]

merci Roro et JJ

Donc si je résume, à moins d'avoir plus d'informations, ou des "points de fonctionnements" de ma fonction pour en faire une résolution numérique, ce n'est pas fesable.

JJ

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Je ne comprends pas exactement ce que tu veux dire : <<Donc si je résume, à moins d'avoir plus d'informations, ou des "points de fonctionnements" de ma fonction pour en faire une résolution numérique, ce n'est pas fesable.>>
Au contraire, j'ai essayé d'expliquer que c'est faisable. Et même par plusieurs méthodes différentes. Cela dépends de la situation où l'on se trouve :
- Soit c'est en pratique (dans le cadre d'un travail expérimental) Les données initiales sont alors des nombres. Dans ce cas, la résolution de l'équation différentielle est faisable par des méthodes de calcul numérique.
- Soit c'est en théorie : On cherche la solution sous la forme d'une formule. C'est aussi faisable et on obtient une formule dans laquelle il y a la fonction "argument Beta incomplète".

Damien R

Invité

Re : Equatin différentielle [Résolu]

La résolution que je souhaiterais faire en premier lieu est théorique..
Je ne conais pas les fonctions béta incomplète et donc encore moins argument incomplète, et le peu de choses que j'ai trouvé là dessus sur internet fait référence à des intégrales or je ne peux intégrer quoi que ce soit car je n'ai aucune condition (ni initiale, ni finale...) théorique sur x(t).
Ainsi, je n'arrive pas à trouver une primitive de (x^n)/(c-b*(x^n)) rationelle (pas possible) ni béta incomplète du coup...

Y a t il quelquepart où est bien expliquée ce qu'est une fonction béta incomplète? enfin, plutôt argument béta incomplète même, si c'est définit directement quelquepart...

Merci

JJ

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Re : Equatin différentielle [Résolu]

Bonjour Damien R

il faut comprendre que beaucoup de primitives de fonctions ne peuvent pas être écrites avec un nombre fini de fonctions élémentaires. C'est même le cas général. L'enseignement privilégie les fonctions dont les primitives sont relativement simples, s'écrivant avec un petit nombre de fonctions usuelles, ce qui donne une fausse idée de la réalité.
Pour des cas fréquents et moins simples, il faut faire appel à des fonctions dites "spéciales" qui sont enseignées à des niveaux supérieurs. Bien entendu, même si on connait un grand nombre de fonctions spéciales répertoriées, en pratique on tombe parfois sur d'autres intégrales qui ne s'expriment pas formellement avec les fonctions spéciales courantes.
La fonction "Beta incomplète" est une fonction spéciale bien connue, en particulier par les statisticiens. Pour cette fonction, il existe des tables qui étaient utilisées autefois. Maintenant, les logiciels spécialisés de maths possèdent cette fonction que l'on utilise aussi facilement qu'une fonction élémentaire comme exp, ln, sin, ou etc.
Mais dans de nombreux cas, on doit faire appel à des séries infinies pour l'écriture formelle de primitives "récalcitrantes". Et encore plus généralement en pratique, on répond à la question d'intégration par du calcul numérique.
Un article de vulgarisation sur les motivations et l'usage des fonctions spéciales :
http://www.scribd.com/people/documents/ … jjacquelin
Dans la liste, sélectionner la ligne : "Safari au pays des fonctions spéciales"

Dernière modification par JJ (21-07-2009 08:34:28)