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#1 18-05-2009 16:57:02

granfada
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Maximum de fonction trigo [Résolu]

Bonjour,
je cherche le max de la fonction

[tex] -\sqrt{|x|}-cos(1/x)+2*x*sin(1/x)  [/tex]

sur [-1,1]\0 pour démontrer que cette fonction est < 1 sur cet intervalle.

Merci d'avance. (c'est peut etre très facile si c'est le cas pardonnez moi mais il est tard ... ;) )

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#2 18-05-2009 20:43:05

Fred
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Bonsoir,

  Pas sûr qu'on puisse trouver le maximum autrement que par des valeurs approchées....
Je pense qu'il faut essayer à la main de prouver que c'est inférieur ou égal à 1,
mais pour le moment je n'ai pas le temps...

Fred.

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#3 19-05-2009 07:04:37

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Merci de ta réponse, il me semblait que c'était relativement compliqué.

Qu'entends-tu par "prouver à la main" ?

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#4 19-05-2009 08:33:22

freddy
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Salut Granfada,

je suppose qu'il te propose d'étudier la courbe associée dans le domaine retenu et de voir que f(x) < 1 ...
Sur un tableur, on le vérifie bien. Mais il reste à le prouver, à la main.

Bon courage, l'étude du signe de la dérivée première est pas mal non plus ...


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 19-05-2009 08:37:26

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Oui j'ai fait le dessin et bien vu que ça avait l'air de marcher.

Mais la démonstration par le dessin n'est à mon grand désarroi pas admise ;)

La dérivée j'avais essayé mais le pb est le même en fait

Par contre la fonction admet comme primitive [tex]2/3 |x|^{3/2}+x^2 \sin(1/x) [/tex] ...

Dernière modification par granfada (19-05-2009 08:41:59)

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#6 19-05-2009 10:51:58

freddy
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

granfad a écrit :

Par contre la fonction f admet comme primitive F tq [tex]F(x) = 2/3 |x|^{3/2}+x^2 \sin(1/x) [/tex] ...

Cela me donne une idée : montrer que f(x) < 1 dans D n'est il pas équivalent à montrer que F(x) < x + Cte, toujours dans D ?

Ou bien que F(x)/x < 1 + Cte/x < Cte1 à déterminer sur D ?

N'y aurait il pas une piste, car  [tex]\frac{F(x)}{x} = \frac{2}{3}\sqrt{|x}|+x\sin(\frac{1}{x}) [/tex] dont l'étude à la main pour x dans D semble a priori  plus facile ...

Dernière modification par freddy (19-05-2009 11:05:08)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 19-05-2009 12:08:23

Fred
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Salut,

  Par 'a la main' je voulais dire bidouiller avec des inégalités du type [tex]\sin(u)\leq u[/tex] etc...
pour obtenir le résultat. Voici une preuve dont j'ai l'impression qu'elle fonctionne. Je note f la fonction.
Il suffit d'obtenir le résultat pour x dans [0,1].

1. On a [tex]f(x)\leq -\sqrt x+1+2x[/tex] (simplement en majorant le cos et le sin par 1).
C'est est toujours inférieur ou égal à 1 dès que [tex]-\sqrt x+2x\leq 1[/tex],
c'est-à-dire pour [tex]x\leq \sqrt 2/2[/tex].

2. Il reste donc à traiter le cas [tex]\sqrt 2/2 \leq x\leq 1[/tex]
Mais pour x dans cet intervalle, on vérifie facilement que [tex]\cos(1/x)\geq 0[/tex]
On écrit alors
[tex]f(x)\leq -\sqrt x+2x\leq -x+2x\leq x\leq 1[/tex]

Fred.

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#8 19-05-2009 12:15:26

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Merci Fred en effet ça a pas l'air mal.

J'étais parti pour essayer de chercher le max sur une "période" mais ta démonstration est claire et rapide.

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#9 19-05-2009 14:48:25

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Fred a écrit :

1. On a [tex]f(x)\leq -\sqrt x+1+2x[/tex] (simplement en majorant le cos et le sin par 1).
C'est est toujours inférieur ou égal à 1 dès que [tex]-\sqrt x+2x\leq 1[/tex],

Fred.

En fait y a comme une erreur là car [tex] -\sqrt x+1+2x \leq 1 [/tex]
Sa revient à [tex] -\sqrt x+2x \leq 0 [/tex] et pas  [tex] -\sqrt x+2x \leq 1 [/tex]

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#10 19-05-2009 15:12:40

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

En gros si on reprend ton 1. on a que c'est bon pour x < 1/4
et si on reprend le 2. c'est bon pour x>1/arccos(0)=0.64 environ.

Il reste donc 0.25<x<0.64 à démontrer

Dernière modification par granfada (19-05-2009 15:15:03)

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#11 19-05-2009 16:39:29

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

En fait la fonction a une sorte de "période" entre [tex] [1/2k\pi,1/2(k+1)\pi]   [/tex] mais ça m'a pas vraiment plus avancé ...

Dernière modification par granfada (19-05-2009 16:39:44)

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#12 20-05-2009 15:14:26

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

granfada a écrit :

Bonjour,
je cherche le max de la fonction

[tex] -\sqrt{|x|}-cos(1/x)+2*x*sin(1/x)  [/tex]

sur [-1,1]\0 pour démontrer que cette fonction est < 1 sur cet intervalle.

Merci d'avance. (c'est peut etre très facile si c'est le cas pardonnez moi mais il est tard ... ;) )

En fait je me suis vautré sur les signes la fonction à étudier c'est

[tex] -\sqrt{|x|}+cos(1/x)-2*x*sin(1/x)  [/tex]

Mais ça change pas fondamentalement le probleme

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#13 20-05-2009 17:06:44

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Je crois que j'ai fini par y arriver en modifiant un peu le truc de Fred et en bidouillant un poil.

C'est pas très classe comme démo mais ça a l'air de passer.

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#14 21-05-2009 16:39:29

freddy
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

granfada a écrit :

Je crois que j'ai fini par y arriver en modifiant un peu le truc de Fred et en bidouillant un poil.

C'est pas très classe comme démo mais ça a l'air de passer.

Tu nous montrerais ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#15 22-05-2009 08:03:57

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Nous avons [tex]g(x)==\frac{3-\sqrt{|x|}+\cos(1/x)-2x\sin(1/x)}{K}[/tex] et on veut montrer qu'elle est inférieure à [tex]4/K[/tex]. Ce qui revient au meme que [tex]-\sqrt{|x|}+\cos(1/x)-2x\sin(1/x) \leq 1[/tex] sauf que je l'ai tapé comme ça.


La fonction étant paire, nous pouvons nous placer sur [tex][0,1][/tex].

1) Nous avons [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt{x}+1+2x}{K}[/tex]
en majorant simplement le cosinus et le sinus.

Or [tex]\frac{4-\sqrt{x}+2x}{K} \leq \frac{4}{K}[/tex] pour [tex]x \in [0,1/4].[/tex]

2) Pour [tex]x>(\arcsin(0))^{-1}=1/\pi[/tex], nous avons [tex]x\sin(1/x)>0.[/tex]

Donc, sur cet intervalle, [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt{x}+\cos(1/x)}{K}[/tex]

et [tex]\frac{3-\sqrt{x}+\cos(1/x)}{K} \leq 4/K[/tex] revient à [tex]-\sqrt{x}+\cos(1/x) \leq 1[/tex] ce qui est toujours vérifié.

3) Il nous reste donc l'intervalle [tex][1/4,1/\pi][/tex].

Sur cet intervalle, nous avons [tex]\cos(1/x)<0[/tex].

Donc [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt(x)-2x\sin(1/x)}{K}\leq \frac{3-x-2x\sin(1/x))}{K}\leq \frac{3-x+2x}{K} \leq \frac{3+x}{K} \leq 4/K[/tex]

Hésitez pas si vous voyez des erreurs mais a priori ça devrai etre bon.

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#16 23-05-2009 14:53:29

granfada
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Re : Maximum de fonction trigo [Résolu]

Une autre petite difficulté sur la meme fonction : nous avons toujours [tex]g(x)==\frac{3-\sqrt{|x|}+\cos(1/x)-2x\sin(1/x)}{K}[/tex] et [tex] x \in [-1,1] [/tex] privé de 0.

Si on définit [tex] A(\varepsilon) [/tex] comme l'ensemble de niveau de niveau [tex] \varepsilon [/tex] c'est à dire
[tex] A(\varepsilon)= \left\{ x \in \mathbb{R} : f(x)>4/K - \varepsilon \right\}. [/tex] (je rappelle qu'on a montré plus haut que 4/K est le sup de la fonction [tex]g[/tex].

Comment estimer [tex] A(\varepsilon) [/tex] ? Et comment montrer que [tex]diam A(\varepsilon) \rightarrow 0 [/tex] quand [tex]\varepsilon \rightarrow 0 [/tex] ?

(on définit  [tex] diam A(\varepsilon) [/tex] comme la plus grande distance entre 2 points de [tex] A(\varepsilon) [/tex] )

Merci d'avance, toute idée est bienvenue.

Dernière modification par granfada (23-05-2009 14:55:11)

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