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#1 13-05-2009 09:08:01

tibo
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exo ens [Résolu]

Bonjour,

j'ai eu un bug avec mon post précédent, donc je le réécrit:

Voici un exo d'oral d'ens que nous avons essayé de traiter avec mon prof.
Tu pourra le rajouter à ta bibliothèque Fred
Nous avons obtenu des résultats interressants mais sans vraiment y arriver

" Soit [tex]P \in \mathbb{R}_n[X][/tex]
On considère la suite pour tout [tex]x \in \mathbb{R},\ \left( P^{(k)} \right)_{k \in [[1,n]]}[/tex]
Soit V(x) le nombre de changement de signe strict de cette suite ; c'est à dire:
[tex]V(x)=card \left\{ (i,j)\ /\ \begin{Bmatrix} 0 \le i<j \le n,\ P^{(i)}P^{(j)}<0 \\ si\ i<k<j,\ P^{(k)}=0 \end{matrix} \right\}[/tex]

1) Soit [tex](a,b) \in \mathbb{R}^2,\ P(a)P(b) \neq 0[/tex]
   Soit [tex]\mu (a,b)[/tex] le nombre de racine de P dans [a,b] compté avec leur multiplicité
   Montrer que [tex]\mu (a,b) \le V(a)-V(b)[/tex]
   et que [tex]\mu (a,b) \equiv V(a)-V(b) [mod\ 2] [/tex]

2) Soit [tex] P=a_0\+\ a_1 X\ +\ ...\ +\ a_n X^n[/tex]
   Soit [tex]\nu (P)[/tex] le nombre de changement de signe dans [tex](a_0,\ a_1,\ ...\ ,\ a_n)[/tex]
   Soit [tex]\mu (P)[/tex] le nombre de racine de P dans [tex]\matbb{R}_*^+[/tex] compté avec leur multiplicité
   Montrer que [tex]\mu (P) \le \nu (P)[/tex]
   et que [tex]\mu (P) \equiv \nu (P) [mod 2] [/tex]"

On va commencer par la première question
On a réussi a montrer que:
- V(x) constante sur tout segment n'admettant pas de racine de P et ses dérivés
- V(-oo)=n ,donc en dessous d'un certain rang V=n
- de même, V(oo)=0 ,donc à partir d'un certain rang V=0
- Puis nous avons conjecturé pas mal de truc, appuyer par des cas particulier, mais sans arriver à le démontrer rigoureusement et en générale,
notament la propriété V décroissante, qui répondrait partiellement à la question
ou, le comportement de V au passge des racines de P et ses dérivés, mais rien de très clair
si la racine est de multiplicité m, alors V diminue de m
mais on a trouvé un contre exemple
par exemple si P(x)=0 , P'(x)=y , P''(x)=0 alors au passage de x, V diminue de 3 et non de 1
donc il faut faire de hypothèse sur les racines de toute les dérivés de P, et alors ça devien très laborieux

voila, je sais pas si c'est très clair
mais si vous avez une idée
Le concours commence vendredi par 6h de math ça rassure non?

Edit Fred : J'ai rajouté une balise  tex fermante pour que le message soit visualisable.


A quoi sert une hyperbole?
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#2 13-05-2009 13:07:53

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : exo ens [Résolu]

Salut,

  Pas simple, ton exo, évidemment!
Je n'ai pas le temps de passer 1H dessus, mais je peux qd même te prouver que V est une fonction décroissante.

Soit x un point où une des dérivées change de sens.
On considère un bloc d'entiers consécutifs {k,k+1,...,l} pour lesquel [tex}P^{(k)}(x)[/tex]
change de signe en x, mais [tex]P^{(l+1)}(x)[/tex] ne change pas de signe.
A l'intérieur du bloc, comme tous les signes changent, ca ne change pas la contribution à la valeur de V.

On regarde ensuite le signe du couple [tex]P^{(l)}, P^{(l+1)}[/tex].
Avant x, on ne pouvait avoir (+,+) ou (-,-) et changer après (et donc obtenir (-,+) ou (+,-) )
car sinon (pour le premier cas), [tex]P^{(l)}[/tex] est croissante autour de x et ne peut pas donc pas être positive avant x et négative après x.

On avait donc avant x le couple (+,-) ou le couple (-,+), et comme ca change on trouve (-,-) ou (+,+).
La contribution de couple à V est donc diminuée de 1. Ce changement de signes peut éventuellement
être compensée par celui qui intervient en (k-1,k), mais dans tous les cas on trouvera que V est décroissante.

Je me souviens qd je passais les ENS de l'épreuve de physique de 6H.
Elle commençait par une partie intitulée "Préliminaires mathématiques", avant le I, le II,....
Je n'étais pas trop en physique, mais je me suis dit que qd même, là, les préliminaires
mathématiques, j'allais savoir les faire. Je n'ai rien fait!

Fred.

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#3 14-05-2009 10:59:27

Barbichu
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Re : exo ens [Résolu]

Salut!
Ça y est, j'ai enfin une solution élégante ! Je vous l'expose dès que j'ai un vrai PC.
++


Barbichu

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#4 14-05-2009 17:54:33

Barbichu
Membre actif
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Re : exo ens [Résolu]

Re, allons-y

La formalisation fait paraitre le problème plus compliqué qu'il ne l'est vraiment. On en comprend très bien l'intuition en faisant de jolis dessins sur tableau noir. Malheureusement je n'ai pas de tableau noir sur bibmath ...

L'intuition est que lorsqu'on passe par une racine de multiplicté n de P, on décroit de n.
Et lorsqu'on passe des racines de dérivées de P qui proviennent de racines complexes dans P, alors on décroit également de la multiplicité de ces racines (sachant que les racines complexes viennent toujours par 2 !!!)
Là où ça devient délicat c'est qu'en un point x on peut trouver simultanément des racines de P et des racines complexes de P, mais également des parasites dans les dérivées qui proviennent des autres racines de P.
Heureusement, on ne cherche jamais à savoir si on a rencontré des racines complexes, ou des parasites.

On va donc décomposer le V en trois types de blocs :
* les racines réelles (cf C/a/) :
une racine nieme se détecte par l'annulation des n-1 premieres dérivées et la non annulation de la nieme.
On va voir que c'est sur les changements de signes de cette zone que s'effectue la décroissance en n (cf B/).

* les parasites+les racines complexes (cf C/b/)
on les trouves forcement plus bas, et le fait que la paraité de V y soit conservé est un petit miracle (cf A/ + B/ => C/b/)

* les zones sans problème (cf C/c/)

Exemples
Première lignes = valeurs de x
Deuxième ligne = séparateurs
Lignes suivantes = signes de P et de ses dérivées successives au point x

Ex1 : X^3 (Réel pur, sans parasites)

 0
===
-0+
+0+
-0+
+++

Ex2 : X^3-1, (une racine rélle, deux racines complexes conjuguées, pas d'interference)

 0 1
=====
---0+
+0+++
-0+++
+++++

Ex3 : X^3+X (une racine réelle, deux racines complexes conjugués, qui interferent avec cette derniere)

 a 0 b
=======
---0+++
+++++++
---0+++
+++++++

Ex4 : X^3-X (3 racines réelles, -1 0 et 1. et la combinaison de -1 et 1 parasite 0, sans compter)

 a b 0 c d
===========
-0+++0---0+
+++0---0+++
-----0+++++
+++++++++++

================================
===         FORMALISATION              ===
================================
/!\ Attention, danger pour les neurones /!\

Considérons [tex]P[/tex] un polynôme de degré [tex]n[/tex]. 
Étant donné un étant donné un élément [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] on défini les notations suivantes :
* [tex]\mathcal{O}(x) = \{i | P^{(i)}(x) = 0\}[/tex]
* [tex]\mathcal{V}(x)_{[[i,j]]} = \left\{ (i',j')\ /\ \begin{Bmatrix} i \le i'<j' \le j,\ P^{(i')}P^{(j')} < 0 \\ \wedge\; \forall k \textrm{ tq } i'<k<j',  P^{(k')}=0 \end{matrix} \right\}[/tex]
* [tex]V_{[[i,j]]}(x) = \textrm{Card}(\mathcal{V}_{[[i,j]]}(x))[/tex]
* [tex]\mathcal{V}(x) = \mathcal{V}_{[[0,n]]}(x)[/tex]
  * Alors [tex]V(x) = \textrm{Card}(\mathcal{V}(x))[/tex]
On remarque que si [tex]k\not\in\mathcal{O}(x)[/tex], alors [tex]\mathcal{V}(x)_{[[i,j]]} = \mathcal{V}(x)_{[[i,k]]} \sqcup \mathcal{V}(x)_{[[k,j]]}[/tex] (R)

I/ Preliminaires
A/ Si [tex]x \in \matR[/tex],  [tex]i<j[/tex] et [tex]P^{(i)}(x)P^{(j)}(x) \neq 0[/tex] alors :
[tex]P^{(i)}(x)P^{(j)}(x) > 0[/tex] ssi [tex]V_{[[i,j]]}(x)[/tex] est pair
Preuve :
Trivial par recurrence forte sur [tex]j-i[/tex] :
* Si [tex]j-i[/tex] = 1,  [tex]P^{(i)}(x)P^{(j)}(x) > 0 \Leftrightarrow (i,j)\not\in\mathcal{V}_{\{i,j\}}\Leftrightarrow \mathcal{V}_{[[i,j]]} = \varnothing  \Leftrightarrow V_{[[i,j]]}=0 [/tex]
   En effet : [tex]\mathcal{V}_{[[i,j]]} \subset \{(i,i+1)\}[/tex]

* Sinon, soit [tex]k>i[/tex] le plus petit, tel que [tex]k\not\in\mathcal{O}(x)[/tex].
   * Si [tex]k=j[/tex], la démo est la même que ci-dessus (Attention, on utilise pas d'hypothèse de récurrence ici)
   * Sinon, on applique l'hypothèse de récurrence à [tex](i,k)[/tex] et [tex](k,j)[/tex] on recolle par (R)
Qed.


Considérons maintenant [tex]a,x, b \in \matR[/tex] tels que [tex]a < x < b[/tex] d'une part
et tel que pour tout [tex]y \in [a,x[\cup]x,b][/tex] aucune des dérivées de P ne s'annule.
(Notez bien que je n'impose rien sur [tex]x[/tex])

B/ Si [tex]i \in \mathcal{O}(x)[/tex] alors [tex](i,i+1) \in \mathcal{V}(a)[/tex] et  [tex](i,i+1) \not\in \mathcal{V}(b)[/tex]
Preuve :
(C'est l'argument de Fred, mais mieux localisé)
Comme [tex]i \in \mathcal{O}(x)[/tex], on a [tex]P^{(i)}(x)=0[/tex].
(i) Supposons [tex]P^{(i+1)}(a)>0[/tex] (le cas négatif s'en déduit par symmétrie et le cas nul est éliminé par hypothèse)
On sait par hypothèse que [tex]P^{(i+1)}[/tex] ne s'annule pas sur [tex][a,x[[/tex], d'où [tex]P^{(i)}[/tex] croissante sur [tex][a,x[[/tex].
Et comme [tex]P^{(i)}[/tex] s'annule seulement en [tex]x[/tex], il est négatif sur [tex][a,x[[/tex] donc en a .
Donc [tex](i,i+1) \in \mathcal{V}(a)[/tex]
(ii) Idem, mais en raisonnant sur l'intervalle [tex]]x,b][/tex]. On trouve [tex](i,i+1) \not\in \mathcal{V}(a)[/tex].
Qed.

Soit maintenant [tex]i_0, j_0, i_1, j_1 \ldots , i_p, j_p[/tex] tels que
* [tex]\forall k\in[[0,p]], i_k \leq j_k [/tex]
* [tex]\forall k\in[[0,p-1]], j_k + 1 < i_{k+1} [/tex]
* [tex]\mathcal{O}(x) = [[i_0,j_0]] \sqcup \ldots \sqcup [[i_p,j_p]][/tex]
(On pose par convention : [tex]j_{-1}=0[/tex] et [tex]i_{p+1}=n[/tex])

C/  Montrons que :
   a/ Si [tex]k\in[[0,p]][/tex] et [tex]i_k=0[/tex] (on a alors nécessairement [tex]k=0[/tex]), alors  [tex]V_{[[i_k,j_k+1]]}(a) = j_k-i_k+1[/tex] et [tex]\mathcal{V}_{[[i_k,j_k+1]]}(x) = \mathcal{V}_{[[i_k,j_k+1]]}(b)) = \varnothing[/tex]
Preuve :
On remarque que par constructions des [tex](i_k,j_k)[/tex], on a nécessairement [tex]P^{(j_k+1)}[/tex] non nul.

On a [tex][[i_k,j_k]] \subset \mathcal{O}(x)[/tex], d'où par B/ :
(i) [tex]\forall i \in [[i_k,j_k]] (i,i+1) \in \mathcal{V}[[i_k,j_k+1]](a)[/tex], et alors [tex]V_{[[i_k,j_k+1]]}(a) = j_k-i_k+1[/tex]
(ii) [tex]\forall i \in [[i_k,j_k]] (i,i+1) \not\in \mathcal{V}[[i_k,j_k+1]](b)[/tex] et alors  [tex]\mathcal{V}_{[[i_k,j_k+1]]}(b) = \varnothing[/tex]
Enfin, comme il n'existe pas dans [tex]\mathcal{V}[[i_k,j_k+1]](x)[/tex] de paire [tex](i,j)[/tex] tel que [tex]P^{(i)}[/tex] et [tex]P^{(j)}[/tex] soient simultanment non nuls, on a nécessairement  [tex]\mathcal{V}_{[[i_k,j_k+1]]}(x) = \varnothing[/tex]
Qed.


    b/ Si [tex]k\in[[0,p]][/tex] et [tex]i_k>0[/tex],  alors [tex]V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(a) \geq V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(x) = V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(x)[/tex] et
[tex]V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(a) \equiv V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(x) \pmod 2[/tex]
Preuve :
On remarque que par constructions des [tex](i_k,j_k)[/tex], on a nécessairement [tex]P^{(i_k-1)}(x)[/tex] et [tex]P^{(j_k+1)}(x)[/tex] non nul.

* On a [tex][[i_k,j_k]] \subset \mathcal{O}(x)[/tex], d'où par B/ :
[tex]\forall i \in [[i_k,j_k]] (i,i+1) \not\in \mathcal{V}[[i_k,j_k+1]](b)[/tex] et alors  [tex]\mathcal{V}_{[[i_k-1,j_k+1]]}(b) \subset \{(i_k-1,i_k)\}[/tex]

* Comme il existe  dans [tex]\mathcal{V}[[i_k-1,j_k+1]](x)[/tex] un unique paire [tex](i,j) = (i_k-1,j_k+1)[/tex] telle que [tex]P^{(i)}[/tex] et [tex]P^{(j)}[/tex] soient simultanment non nuls, on a nécessairement  [tex]\mathcal{V}_{[[i_k,j_k+1]]}(x) \subset \{(i_k-1,j_k+1)\}[/tex]


Donc [tex]V_{[[i_k,j_k+1]]}(b)[/tex] et [tex]V_{[[i_k,j_k+1]}](x)[/tex] sont dans [tex]\{0,1\}[/tex]
Et dans les deux cas, la parité du cardinal détermine complètement le cardinal :

Enfin, comme  [tex]P^{(i_k-1)}P^{(j_k+1)}[/tex] ne s'annule ni en [tex]a[/tex], ni en [tex]b[/tex], ni en [tex]x[/tex], on en tire par A/ que les trois cardinaux
[tex]V_{[[i_k-1,j_k+1]]}(a)[/tex], [tex]V_{[[i_k-1,j_k+1]}](b)[/tex] et [tex]V_{[[i_k-1,j_k+1]}](x)[/tex] ont même parité.

On en tire trivialement l'énoncé
Qed.


    c/ Si [tex]k\in[[-1,p]][/tex], alors [tex]\mathcal{V}_{[[j_k+1,i_{k+1}-1]]}(a)) = \mathcal{V}_{[[j_k+1,i_{k+1}-1]]}(x)) = \mathcal{V}_{[[j_k+1,i_{k+1}-1]}](b))[/tex]
Preuve :
Trivial : Il n'y a pas de changements de signes hors de [tex]\mathcal{O}(x)[/tex].
Qed.


D/ Enfin, si [tex]P[/tex] admet une racine [tex]n^{\textrm{ieme}}[/tex] en [tex]x[/tex] (avec [tex]n[/tex] éventuellement égal à [tex]0[/tex]),
alors
(i) [tex]V(a) - V(b) \geq n[/tex] et [tex]V(a) - V(b) \equiv n \pmod 2[/tex]
(ii) [tex]V(x) = V(b)[/tex]

Preuve :
On rappelle que par (R) on a : [tex]\forall u \in \{a,x,b\}, \mathcal{V}(u) = \bigsqcup_{k=0}^{p}\mathcal{V}_{[[i_k-1,j_k+1]]}(u)
\sqcup \bigsqcup_{k=-1}^{p}\mathcal{V}_{[[j_k+1,i_{k+1}-1]]}(u)[/tex] (car aucun des $i_k-1$ et $j_k+1$ n'est dans $\mathcal{O}$)

(ii) Trivial par C/a/b/c/ : il y a toujours égalité des [tex]V[/tex] pour [tex]x[/tex] et [tex]b[/tex].

(i) Il y a deux cas a distinguer :
   a) [tex]n = 0[/tex], donc [tex]x[/tex] n'est pas vraiment une racine de [tex]P[/tex]. Alors le cas C/a/ disparait, le cas C/c/ permet de simplifier la comparaison et il n'y a qu'à appliquer le cas C/b/ pour trouver que [tex]V(a) - V(b) \geq 0[/tex] et  [tex]V(a) - V(b) \equiv 0 \pmod 2[/tex]
   b) [tex]n > 1[/tex], on sait alors que les [tex]n-1[/tex] premières dérivées de [tex]P[/tex] s'annulent en [tex]x[/tex] et que la dérivée nième ne s'y annule pas. D'où [tex][[i_0,j_0]] = [[0,n-1]][/tex] et alors
[tex]V_{[[i_0,j_1]]}(a) = n[/tex] et [tex]V_{[[i_0,j_1]]}(b) = 0[/tex], par C/a/. En assemblant le reste avec C/b/ et C/c/. On obtient le resultat voulu.

Qed.


Rq : de D/ on déduit également :
(iii) [tex]V(a) - V(x) \geq n[/tex] et [tex]V(a) - V(x) \equiv n \pmod 2[/tex]

II/ Cas général
Soient [tex]a,b\in\matR[/tex] avec [tex]a < b[/tex] et [tex]P(a)P(b) \neq 0[/tex]
L'ensemble des points en lesquels P ou l'une de ses dérivées s'annule sur [tex]]a,b[[/tex] est fini, notons [tex]a < x_1 < \ldots < x_N < b[/tex] ses points. Et soient [tex]\mu_1, \ldots, \mu_N[/tex] leur multiplicité respective (éventuellement nulle) en temps que racine de P.
Soient alors [tex]a_0,\ldots,a_N[/tex] tels que [tex]a < a_0 < x_1 < \ldots < a_{N-1} < x_N < a_N < b[/tex]
On a [tex]V(a) - V(b) = V(a) - V(a_0) + \sum_{k=0}^{N-1}\left(V(a_k) - V(a_{k+1})\right) + V(a_N) - V(b)[/tex]

Or, en appliquant D/ judicieusement :
* [tex]V(a) - V(a_0)= 0[/tex] par D/(ii)
(en effet, [tex]a[/tex] joue le rôle de [tex]x[/tex] et [tex]a_0[/tex] le rôle de [tex]b[/tex] dans D/).
* [tex]V(a_k) - V(a_{k+1}) \geq \mu_{k+1}[/tex] et [tex]V(a_k) - V(a_{k+1}) \equiv \mu_{k+1} \pmod 2[/tex] et par D/(i)
(en effet, [tex]a_k[/tex] joue le rôle de [tex]a[/tex] et [tex]a_{k+1}[/tex] le rôle de [tex]b[/tex] dans D/).
* [tex]V(a_N) - V(b) \geq 0[/tex] et [tex]V(a_N) - V(a_b) \equiv 0 \pmod 2[/tex] par D/(iii)
(en effet, [tex]a_N[/tex] joue le rôle de [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] le rôle de [tex]x[/tex] dans D/).

En sommant, on obtient [tex]V(a) - V(b) \geq \sum\mu_k[/tex] et [tex]V(a) - V(b) \equiv \sum\mu_k \pmod 2[/tex] CQFD !


III/ La question 2 : appliquer la question 1 en 0 et b avec b suffisamment grand !

Ouahou !

Dernière modification par Barbichu (15-05-2009 11:49:39)


Barbichu

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#5 17-05-2009 10:00:06

tibo
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Re : exo ens [Résolu]

ha wé quand meme!!!

bon je vais lire tout et je verai ce que je comprend pas

merci


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#6 17-05-2009 16:33:44

Barbichu
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Re : exo ens [Résolu]

De rien,
s'il y a quelque chose que tu ne comprends pas, n'hésite pas à me demander. Notamment je n'ai pas détaillé à fond toutes les preuves et je ne suis pas à l'abri d'erreurs de typo.
++


Barbichu

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#7 17-05-2009 19:16:08

tibo
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Re : exo ens [Résolu]

Ouf!!! j'ai fini !!!

Merci beaucoup!
j'ai tout compris, (il m'a fallu dans temps pour tout décortiquer quand meme)

juste un petit point ou je ne suis pas sur
Juste avant (B),

Considérons maintenant a,x et b tels que a<x<b d'une part
et tel que pour tout y \in [a,x[u]x,b] aucune des dérivées de P(y) ne s'annule.

Considères-tu aussi la dérivée 0 de P?
autrement dit:
que P(y) et ses dérivées en y ne s'annule pas.

sionon les fautes de frappe sont assez rares pour etre invisible, ou presque
mais tu définis deux fois n

Considèrons un polynome P de degré n

D/ Enfin, si P admet une racine n^{ième} en x (avec n éventuellement égal à 0)

Cela n'empèche pas la compréhension et ne retire rien à ton travail exeptionnel

Merci encore du temps passé (et ça a du etre long)

Et ya pas à dire, tu es très fort Barbichu


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#8 17-05-2009 20:12:09

Barbichu
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Re : exo ens [Résolu]

Re,
Merci de m'avoir lu: j'ai en effet passé plus de temps à rédiger qu'à comprendre le problème.
Oui, quand je parle des dérivées de P, je compte également P. Et oui, je défini deux fois n, il ne faut pas tenir compte de la première définition (degré du polynôme) que je n'utilise jamais.
Et si ça peut te rassurer, je ne pense pas que j'étais capable de faire ça en sortant de taupe.
++


Barbichu

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#9 17-05-2009 20:54:30

tibo
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Re : exo ens [Résolu]

en effet le niveau ens est quand meme tres tres ... élevé
et j'ai pu constater ça vendredi dernier...


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