Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pop

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arc de cycloïde [Résolu]

Bonjour,j'ai du mal avec cet exercice.

Question preliminaire : Exprimer 1 - cos(t) a l'aide de sin(t/2).

On note I l'arc de cycloïde admettant pour representation parametrique :
x(t) = t - sin(t)   y(t) = 1 -cos(t)   avec 0 inférieur ou égal à  t  qui est inférieur ou égal à 2pi.
1. Calculer le vecteur V (t), puis sa norme.
2. Quel est la longueur de I ?
3. En prenant le point M(0) pour origine de I et en orientant I dans le sens des t croissants,
quelle est s(t), l'abscisse curviligne de M(t) ?
4. Determiner le vecteur T au point M(t) et calculer sa derivee par rapport a t. Verifier qu'elle est orthogonale au vecteur T.
5. Determiner la courbure, le rayon de courbure et le vecteur N au point M(t). En deduire
les coordonnees de C(t), le centre de courbure au point M(t).
6. Determiner la courbe parcourue par C(t) quand t varie. Est-ce une cycloïde ?

merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Pour la question préliminaire : cos2a=1-2sin^2a

Donc : cost=1-2sin^2 t/2

1-cost=2sin^2 t/2

1.le vecteur V(t) a pour coordonnées x'(t) et y'(t)

x'(t) = 1-cost
y'(t) = sint

et V² = x'² + y'² = (1-cost)² + sin²t = 2(1-cost) = 4sin²(t/2) d'où V(t) en prenant la racine positive
2. l=int_0^2pi racine de 4sin²(t/2)
3. et alors s(t) =int_0^t V(x)dx =int_0^t 2sin (x/2)dx = 4(1-cos(t/2)

après çà devient compliqué

Fred

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Re : arc de cycloïde [Résolu]

Bonjour Pop,

  Alors, qu'est-ce qui te gêne exactement?

4. Le vecteur T, j'imagine que c'est le vecteur tangent orienté unitaire.
Mais tu as déjà presque tout fait à la 1ère question, non?
Il suffit de diviser V par sa norme.
Le calcul de la dérivée et la vérification ne devraient pas te poser de problèmes.

5. Tu dois avoir des formules dans ton cours pour faire cela, non?

Dans tous les cas, ce n'est pas nécessaire de passer par le paramétrage par l'abscisse curviligne.

Fred.

pop

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Re : arc de cycloïde [Résolu]

soit T=(racine de 4sin²(t/2))/4sin²(t/2)

Fred

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Re : arc de cycloïde [Résolu]

Re-

T doit être un vecteur, pas un nombre!
Pour la première, tu as bon!

Fred.

pop

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Re : arc de cycloïde [Résolu]

je trouve que le vecteur T a pour coordonnées cosalpha=sin(t/2)
sinalpha=cos(t/2)

Fred

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Re : arc de cycloïde [Résolu]

C'est vrai, mais au signe près. Lorsque tu prends la racine carrée dans la question 1, tu as bien précisé
que tu prenais la racine positive. Ici, c'est pareil. Tu dois reprendre cette même valeur ici.
D'ailleurs, si tu dessines la cycloide, tu verras que la première coordonnée de T doit toujours être positive.

Fred.