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#1 19-04-2009 17:26:11

picatshou
Invité

foctions à plusieurs variables [Résolu]

Salut tout le monde , comment allez vous?
J'ai un problème dans le calcul des surfaces et des  volumes :
dans un exercice il est demandé de calculer l
d'abord l'aire du disque de rayon R ,en fait j'ai supposé x=rcosm
y= r sinm ; 0<=m<=2 , et 0<=r<=R
dxdy = rdrdm
D= {(r,m); 0<=r<=R,0<=m<=2}
I= int_int_{} rdrdm=int_{0}^(2pi) int_{0}^R  rdrdm=  int_{0}^(2pi)R²/2 dm= 2piRé/2= pi R²
dans quelle mesure ma réponse est juste ?
dans l'exercice qui suit il est demandé de calculer  d'abord le volume d'une sphère puis le volume d'un cône:
sachant qu'il a donné les informations suivantes {x=Rcosmsink,y=Rsinmcosk,z=Rsink
0<=m<=2pi ; -pi/2<=k<=pi/2
et un élément de surface :ds=R²coskdmdk
bon , il faut que je trouve le volume de la sphère =4/3pi(R(au cube))
alors je sais bien que 4piR²  n'est autre que la surface de la sphère ,mais je ne sais pas d'où provient le (1/3)
est ce que vous pouvez l'expliciter pour moi avec un graphe et en utilisant  l'intégrale triple s'l vous plait ? j'ai essayé pas mal de fois mais je n'ai rien trouvé
et pour le cô^ne je me trouve vraiment bloqué!
merci d'avance !

#2 19-04-2009 19:55:32

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : foctions à plusieurs variables [Résolu]

Bonsoir picatshou,

J'ai un peu de mal à lire tes "formules" mais bon...
Pour le calcul de l'aire du disque, ça me parait correct :
[tex] A = \int_{(x,y)\in \text{Disque}} 1 \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^R r\, drdm = \left( \int_0^{2\pi} dm \right) \times \left( \int_0^R r\, dr \right) = 2\pi \times \frac{R^2}{2} = \pi R^2.[/tex]

Pour le calcul du volume de la sphère, c'est "exactement" pareil. Tu utilises le changement de variable en coordonnées sphériques :
[tex] V = \int_{(x,y,z)\in \text{Boule}} 1 \, dxdydz = \int_0^{2\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^R r^2\, \cos(k)\, drdkdm = ... [/tex]
Continue le calcul et tu verras que le 1/3 arrive naturellement...

Pour le cône, tu dois pouvoir utiliser ce qui s'appelle une intégration par tranches, dis moi si ça te dit quelques chose...

Roro.

Hors ligne

#3 19-04-2009 22:00:37

picatshou
Invité

Re : foctions à plusieurs variables [Résolu]

Bonsoir RORO ,
Merci bien pour les réponses , mais pour l'intégration pa tranche ca signifie par partie ou par portion de courbe, je n'ai pas compris la signification de cette notion ?
Merci d'avance pour les réponses!

#4 20-04-2009 06:25:32

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : foctions à plusieurs variables [Résolu]

Bonjour,

Si tu écris ton cône de la façon suivante :
[tex] C = \{(x,y,z)\in \R^3 \quad 0<z<H \quad \text{et} \quad (x,y)\in B(0,r(z)) \}[/tex]
alors ce que j'appelle l'intégration par tranches te donne
[tex] \int_C f(x,y,z)\, dxdydz = \int_0^H \left( \int_{B(0,r(z))} f(x,y,z)\, dxdy \right) \, dz.[/tex]

Roro.

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#5 21-04-2009 18:30:41

timtim
Membre
Lieu : Cocody, Abidjan (Côte d'Ivoire
Inscription : 03-04-2009
Messages : 8

Re : foctions à plusieurs variables [Résolu]

slt cher ami je ne sais si je t'ai bien compris pour donner d'abord la réponse a une de tes interrogations en ce qui concerne la surface d'une sphère qui faire 4piR² alors que pour le volume tu as un 1/3 qui apparait la réponse est toute simple en ce que quand tu as un volume pour trouver la surface il faut dériver et dans la situation inverse il faut intégrer pour le volume tu as (4piR^3)/3 si tu dérive par rapport a R tu obtient 4piR^3.
  en qui concerne la méthode a adapter pour trouver le volume de la sphère il faut utiliser une intégrale triple et tu intègre par tranche comme RORO te l'avait suggérer en intégrant quelque soit l'ordre le rayon de [0;R]  , m de [0;2pi] et k de [-pi/2;pi/2] la fonction rdrdmdk et tu verras
merci j'espère que je t'ai apporter qlq chose de plus

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#6 21-04-2009 21:52:54

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : foctions à plusieurs variables [Résolu]

Bonsoir timtim,

Très étonnant (mais néanmoins passionnant) la façon que tu as pour expliquer la présence du 1/3 dans l'expression du volume d'une boule.
J'aurais juste une petite remarque :
Le volume d'un cube (de coté c) vaut [tex]c^3[/tex] mais quand je dérive j'obtiens [tex]3c^2[/tex], ce qui n'est manifestement pas la surface de mon cube !
Alors pour quelles types d'ensemble ta "formule magique" (disant que il faut dériver le volume (par rapport à quoi ?) pour obtenir la surface) est-elle prouvée ?

Roro.

P.S. J'ai pas trop envie de me creuser la tête mais j'ai quand même l'impression qu'il ne s'agit que d'un coïncidence dans le cas de la boule...

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