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jean

Invité

[Résolu] courbes caténaires

j'aimerais savoir si quelqu'un connais une formule capable de déterminer la profondeur du creux d'une courbe caténaire lorsque les points d'ancrage par rapport au plan supérieur ne sont pas au même niveau.

complémént c'est pour calculer la pronfondeur théorique d'une palangre maintenue entre deux bouées

merci d'avance de votre aide

JJ

Invité

Re : [Résolu] courbes caténaires

La courbe en question est connue sous le nom de "chainette"
Son équation est généralement donnée dans un système d'axes particuliers.
Mais, pour répondre à votre question, il faut considérer un système d'axes plus général et la fonction est alors :
y(x) = c+a.ch((x-b)/a)
dans laquelle ch est la fonction cosinus hyperbolique et a, b, c sont des constantes qui doivent être déterminées selon les conditions imposées, qui doivent être au nombre de 3, puisque l'on a à calculer 3 constantes inconnues.
Deux de ces conditions sont évidentes : La connaissance des coordonnées des points d'ancrage (x1, y1) et x2, y2), donne deux équations :
y1 = c+a.ch((x1-b)/a)
y2 = c+a.ch((x2-b)/a)
A ce stade, il manque encore une équation.
On ne peut donc pas répondre à la question telle qu'elle est posée. Il faudrait une donnée de plus (la longueur de la chainette par exemple, ou une autre donnée physique...)
En effet, il est aisé de comprendre que votre question est ambigue : les coordonnées des points d'ancrage étant connues, si vous utilisez des câbles de différentes longueurs, les courbes obtenues sont différentes et les longueurs de flèche seront différentes. Votre question conduit donc à une infinité de réponses différentes du fait que vous ne donnez pas toutes les conditions nécessaires pour que la solution soit unique.

jean

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Messages : 1

Re : [Résolu] courbes caténaires

dans les données connus :
la longueur de la chainette
la différence de hauteur des points d'ancrages
la distances entre les points d'ancrages

JJ

Invité

Re : [Résolu] courbes caténaires

Dans ce cas, les valeurs connues sont :
H = différence de hauteur entre les points d'ancrage P1 et P2
D = distance horizontale entre les points d'ancrage
L = longueur de la chainette
Pour simplifier les écritures, on place l'origine du système d'axes au point le plus bas de la chainette. L'équation devient :
y(x) = a(ch(x/a)-1)
avec (a) une valeur actuellement inconnue.
On suppose que le point P1 (x1,y1) est à gauche de l'origine, donc x1<0 et que le point P2 est à droite donc que x2>0.
x2-x1=D donc x2=D+x1  (remarque : puixque x1<0 on a bien x2<D )
y1=a(ch(x1/a)-1) et y2=a(ch(x2/a)-1) la différence donne :
y2-y1=H=a(ch(x2/a)-ch(x1/a))
L'abscisse curviligne est donnée par : s(x)=a.sh(x/a) ce qui donne la longueur :
L=s(x2)-s(x1)=a(sh(x2/a)-sh(x1/a))
Pour simplifier les écritures, on pose X=x2 et par suite x1=X-D
en remarquant que : ch((X-D)/a)=ch((D-X)/a) et sh((X-D)/a)=-sh((D-X)/a)
On obtient le système suivant :
ch(X/a)-ch((D-X)/a))=H/a
sh(X/a)+sh((D-X)/a)=L/a
C'est un système de 2 équations à 2 inconnues : X et a.
La première équation au carré, moins la seconde au carré donne :
-2ch(X/a)ch((D-X)/a)-2sh(X/a)sh((D-X)/a)=(H/a)²-(L/a)²
-ch((X/a)+((D-X)/a))=-ch(D/a)=(H/a)²-(L/a)²
Finalement, on obtient une équation à une seule inconnue (a) :
ch(D/a)=(L/a)²-(H/a)²
Connaissant les valeurs numériques de D, L et H, on obtient la valeur de (a) par calcul numérique. (Pas de formule littérale avec les fonctions usuelles)
Ensuite, la différence de hauteur entre le point le plus bas et le point P2 est calculée par :
a(ch(D/a)-1)
et la différence de hauteur entre le point le plus bas et le point P1 est :
a(ch((D-X)/a)-1)
ATTENTION : Résultat donné SANS RELECTURE NI V2RIFICATION : il peut y avoir des erreurs de calcul et de dactylographie. Tout doit être vérifié. Le but ici était seulement de donner le principe de la méthode.

JJ

Invité

Re : [Résolu] courbes caténaires

Il y a déjà une erreur après le système de deux équations. Il manque un 2 dans l'équation qui suit ce système et dans les équations suivantes. Vous corrigez bien vous-même. il n'est pas impossible qu'il y ait d'autres erreurs. Je n'ai pas assez temps maintenant pour continuer sur cette question.