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#1 29-03-2009 16:21:09

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Forme différentielle [Résolu]

Bonjour à tous !

Je voudrais savoir si quelqu'un a une petite idée pour calculer l'intégrale de cos(x^2) de 0 à l'infini. On doit trouver Pi/8.

Je sais qu'il faut utiliser les formes différentielles de degré 1.
Cependant, je ne sais pas comment les utiliser.

Bises de Cléo


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
Hommage à Yoshi : "la Roche Tarpéienne est près du Capitole" wink

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#2 29-03-2009 17:41:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Forme différentielle [Résolu]

Salut,

  On ne te donne pas du tout d'indications????
Parce que c'est pas du tout naturel de faire comme cela en prépa....

Fred.

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#3 29-03-2009 23:45:49

freddy
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Messages : 7 457

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonsoir Cléopatre,

je commencerais par convertir le carré du cosinus sous la forme de cos2x et sin2x, plus facile à intégrer.

On utilise la formule de Moivre qui énonce, pour n entier relatif :

cosnx + isinnx=(cosx + isinx)^n

On développe et identifie les termes réels avec eux mêmes et les termes imaginaires entre eux et on trouve pour n = 2 :

cos2x = cosx^2-sinx^2 =2cosx^2-1

et sin2x=2sinxcosx

On en déduit : cosx^2=(1+cos2x)/2 ... plus facile à intégrer !

D'une manière générale, il faut posséder ses formules circulaires sur le bout des doigts, si je peux me permettre.

Bon courage à vous.

Freddy


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 30-03-2009 08:25:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonjour Freddy,

  Je crois que tu confonds [tex]\cos^2(x)[/tex] et [tex]\cos(x^2)[/tex].
Pour la seconde, il n'existe pas de primitives qui s'écrive sous la forme d'une fonction usuelle, et il faut
utiliser d'autres méthodes...

Fred.

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#5 30-03-2009 09:10:19

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonjour Fred,

Aïe, j'ai mal lu. Passé une certaine heure ...
Merci de la remarque, je m'enduis la tête de cendres ...

Oui, là , il faut faire un changement de variable du genre y=x^2, dy=2xdx
et réécrire l'intégrale avec la variable y. Et attention au domaine d'intégration.
Désolé, je n'arrive pas à utiliser Latex, je suis sur MAC ... Je vais changer d'ordi ce soir, je verrais si j'y arrive mieux sur  PC


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#6 30-03-2009 15:03:16

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonjour Cléopatre (je ne sais pourquoi je veux vous appeler Alexandra ???)

êtes vous bien sûre de l'énoncé et de sa réponse. J'ai peur que cette intégrale soit bien connue du milieu des mathématiciens et que la réponse qui vous a été demandée de vérifier soit erronée.

Vous devriez arriver à un résultat du type Square[Pi/2]/2

Bon courage (LaTeX est très résistant ...)

Freddy


[EDIT]@yoshi
Pour LaTeX, 2 solutions,
1. L'interface mise au point par Fred : nécessite java de Sun MicroSystems
2. Soit LaTeX, à la main, pur et dur (ce que je fais depuis le début) :  http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943

@+

Dernière modification par freddy (30-03-2009 16:17:12)


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#7 30-03-2009 15:49:18

Roro
Membre expert
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Messages : 1 552

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonjour Cléopatre,

Pas simple ton exercice, surtout en utilisant les connaissances de sup/spé.

Comme le dit à juste titre Fred, il n'existe pas de primitive de [tex]x\mapsto \cos(x^2)[/tex] exprimable à l'aide de fonctions usuelles, et par conséquent toute méthode "directe" comme un simple changement de variable sera voué à l'echec.

Classiquement, ce type d'intégrale (Intégrale de Fresnel) se calcule en utilisant l'intégration de fonctions complexes sur des domaines (dont un des morceaux du bord tend vers [tex]]0,+\infty[[/tex]). Evidemment on peut voir ça comme l'intégration d'une 1-forme (et utiliser la formule de Stokes)...

Je serais curieux de savoir comment on peut répondre de façon relativement élémentaire et courte... si tu as la réponse, je suis preneur...

Roro.

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#8 30-03-2009 20:34:27

freddy
Membre chevronné
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Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Forme différentielle [Résolu]

Merci Yoshi !

Pour Cléopâtre, on a le résultat suivant :

[tex]\int_0^{+\infty}\,\cos x^2\,dx=\sqrt\frac{\pi}{8}[/tex]

et le calcul est un peu long !

Pour LaTex, à la main, avec un peu d'entraînement, on doit y arriver !!!
Merci encore !

Dernière modification par freddy (30-03-2009 22:11:50)


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#9 05-04-2009 15:38:24

cléopatre
Membre active
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Messages : 359

Re : Forme différentielle [Résolu]

Salut les zouzous !!! euh... les bibmatheux !!!

Oui tu peux m'appeler Alexandra si sa te chante...

Non on ne me donne aucune autre indication sauf que c'est dans le chapitre forme différentielle de degré un. En réalité, le prof n'a pas voulu nous donné la réponse pck une personne dans la classe l'a faite en 30 secondes. D'ailleurs si vous me dites que ce n'est pas pi/8 alors il s'est trompé. Bref, je n'es pas vraiment d'idée.

Je suis désolé de vous répondre à chaque fois longtemps après mais je ne suis pas souvent dans l'appartement où il y a internet...

Bises de Cléo


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#10 05-04-2009 15:51:42

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 948

Re : Forme différentielle [Résolu]

Salut zézette... euh... Cléo,

;-)

Bon, je vais essayer de t'aider à ma façon parce que là, je suis largué...
Tu vas suivre ce lien http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false
Et tu auras la primitive de 0 à x de cos x²...
Il ne restera plus qu'à faire tendre x vers l'oo et tu sauras si le résultat est bien [tex]\sqrt {{\pi \over 8}}[/tex] ou pas...

@+
PS
Je viens de faire le calcul avec la "Super calculatrice" wxMaxima : le résultat est exact...

Dernière modification par yoshi (05-04-2009 16:14:35)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#11 05-04-2009 23:45:04

freddy
Membre chevronné
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Messages : 7 457

Re : Forme différentielle [Résolu]

Bonsoir à tous,

dans Wikipédia, dans la rubrique intégrale impropre, il y a l'intégrale de Fresnel et le changement de variable nécessaire pour aboutir à ce résultat. Celui qui a réussi le calcul en 30 secondes est probablement un pur génie, ou bien il connaissait la bonne manière d'y arriver ... Par contre, il n'a pas bien mémorisé la bonne réponse.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Fresnel

Calcul à ajouter dans les bases des standards à connaître, Monsieur Fred ?

Dernière modification par freddy (06-04-2009 19:07:48)


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#12 06-04-2009 15:19:04

cléopatre
Membre active
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Messages : 359

Re : Forme différentielle [Résolu]

A vrai dire je te dirait cela dans quelques moi parcequ'il s'est juste inscrit à ENS rien d'autre... Mais bon c'est vrai que bon, c'est vraiment à connaître...

Merci à toi Freddy pour tes interventions

Dernière modification par cléopatre (06-04-2009 15:19:25)


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#13 06-04-2009 20:03:02

Fred
Administrateur
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Re : Forme différentielle [Résolu]

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