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picatshou

Invité

ev,DLet lim [Résolu]

bon après-midi tout le monde,
dans ce message j'ai des diverses questions dans divers sujet dont j'ai beaucoup  besoins de leurs réponses,alors merci d'avance pour votre patience et votre aide.
Dans un exercice d'ev où E est un K e.v de dim finie et f,g appartiennent à L(E)
Soit H un supplémentaire de Kerf dans E
on considère h:E dans E la restriction de g o f à H
MQ rg g o f=dim Kerh+dim kerf
ma réponse était
on a Kerh=H inter Ker g o f  et H+ Kerf=E
or Im g o f+Ker g o f =E  d'où Im g o f=E- Ker g o f = H -Ker g o f+Kerf = KerH +Kerf 
d'où rg g o f=im Kerh+dimKerf .

autre question : comment peut-on montrer que'une application linéaire est une homothéte vectorielle?
exercice2: DL: Dét le DL 4 des fonctions suivantes :
f(x)=(1+(racine carrée de(1+x²))(à la puissance 1/2
j'ai supposé y=(la racine carrée de (1+x²))-1 d'où f(x)=(2+y)(à la puissance 1/2
et puis j'ai mis é en facteur  et j'ai posé U=y/2 d'où le DL 4 de f est (racine de 2)*(1+U+U/2-U²/8+U²*U/16- 5U²*U²/128 +O(U²*U²)).
g(x)=Log(sinx/x)
J'ai fait la dérivée de cette fonction puis le DL 4 de celle -ci et puis j'ai intégré ce DL et j'ai trouvé -x²/3+O(x²*x²).
l'exercice 3 concerne le  calcul de limite des fonctions  lorsque x tend vers (0+)
f(x)=( exp(sinx)-exp(tanx))/(sinx-tanx)
j'ai essayé avec le DL et les simplifications  mais j'ai rien trouvé ?
et pour g(x)=(x(à la puissance x( à la puissance x) Logx)/(x(à la puissance x)-1)
et h(x)=(1+x)(à la puissance (Log

picatshou

Invité

Re : ev,DLet lim [Résolu]

Pardon je m'excuse ma connexion à internet était interrompue ,alors je continu pour h(x)=((1+x)(à la puissance (Logx/x))-x)/x*(x(à la puissance x)-1) et k(x)= (cosx)(à la puissance cotgx²) je me suis trouvé bloquer et je n'ai pas trouvé aucune idée ?

En fin ,dans quelle mesure mes réponses sont justes et que je puisse faire ?
Merci d'avance!

Fred

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Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonjour Picatshou,

or Im g o f+Ker g o f =E  d'où Im g o f=E- Ker g o f = H -Ker g o f+Kerf = KerH +Kerf

Cette ligne n'a pas de sens. Que signifie E-ker g o f????????
En revanche, ca semble exact si devant tous les espaces vectoriels tu ajoutes le mot dim.
On a bien dim (Im g o f) +dim (Ker g o f) = dim (E) (thm du rang), etc....

Fred.

Fred

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Re : ev,DLet lim [Résolu]

Je continue...pour l'exo sur les DLs, pour la première fonction,
il faut encore remplacer U par sa valeur, ie
faire un DL de [tex]\sqrt{1+x^2}[/tex] à l'ordre 4, soustraire 1, puis faire u^2,.....

Pour lafonction suivante, ca fonctionne, mais pourquoi ne pas utiliser directement une composition de DLs.
Tu peux aller voir sur la base de données d'exercices du site la feuille consacrée aux développements limités, l'exercice est corrigé avec cette méthode.

Fred

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Re : ev,DLet lim [Résolu]

Enfin, pour déterminer les limites, il est effectivement bon d'utiliser les dls.
Mais je crois que tu as de vrais problèmes avec la composition.

Ici,
[tex]\sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)[/tex]
[tex]\tan(x)=x+x^3/3+o(x^3)[/tex]

On a [tex]\exp(\sin x)=\exp(x-x^3/6+o(x^3/6))=\exp(x)\exp(-x^3/6+o(x^3))=\exp(x)(1-x^3/6+o(x^3))[/tex]
(ici, j'ai composé des développements limités!).
De la même façon on trouve
[tex]\exp(\tan x)=\exp(x)(1-x^3/3+o(x^3))[/tex]

On trouve finalement
[tex]\frac{\exp(\sin x)-\exp(\tan x)}{\sin x-\tan x}=\exp (x)\frac{-x^3/2+o(x^3)}{-x^3/2+o(x^3)}=\exp(x)\frac{1+o(1)}{1+o(1)}[/tex]
et ceci tend vers 1 lorsque x tend vers 0.

Je n'ai pas regardé la suite pour deux raisons :
-je crois que tu as vraiment besoin de réviser la notion de composition d'un dl
-il faudrait que tu te mettes à écrire tes messages en latex, sinon ca devient vite illisible....

Fred.

yoshi

Modo Ferox

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Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonjour,

Pour LaTeX, l'excuse, si elle était répétée, de problème avec Java serait bidon : il n'est pas nécessaire d'utiliser l'interface "Insérer une équation" mise au point par Fred : ce n'est qu'une commodité.
On peut très bien faire du LaTeX directement, voir : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943 ...
C'est sûr que ça va demander un petit effort et un temps d'adaptation, mais on s'y fait ! :-)

@+

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picatshou

Invité

Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonsoir,
merci bien Mrs Fred et Yoshi pour toutes vos remarques et informations .
Vos réponses étaient convaincontes ,mais ,je n'ai pas encore  d'idée sur la question suivante : Comment on peut montrer qu'une application linéaire est une homothétie vectorielle?
Merci d'avance!

freddy

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Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonjour Picatshou,

En reprenant la définition d'un homothétie, je pense qu'il faut montrer que chaque coordonnées du vecteur dans une base donnée doit être multiplié par le même nombre réel (non nul, bien sûr).

Si U un vecteur alors f(U) = a. U avec a le scalaire (nombre réel).

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

picatshou

Invité

Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonjour, merci beaucoup Freddy ,
les indications que j'ai sont les suivantes :
E est un K e.v et f appartient à L(E) tq quelque soit x dans E , la famille (x,f(x)) est liée
1)mq quelque soit x dans E , il existe U tq f(x) =Ux
2) mq pour tout couple de vecteurs non nuls x et y , on a U=V
en tenant cmpte de (x,y) liée et libre
Dans la dernière question j'ai trouvé une difficulté de prouver d'une manière logique que U=V en fait j'ai mis des conclusions qui manque de précision
Pouvez -vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance!

Fred

Administrateur

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Messages : 7 047

Re : ev,DLet lim [Résolu]

Bonjour,

  Tiens, voila encore un exo qui se trouve dans la base de données du site troisième exercice de la fiche sur les applications linéaires - exo théoriques

Je résume l'argument :
Si (x,y) est libre, on calcule
[tex]f(x+y)=W(x+y)=Wx+Wy[/tex]
d'une part
[tex]f(x)+f(y)=f(x)+f(y)=Ux+Vy[/tex]
d'autre part, et puisque la famille est libre, U=V=W.

Si (x,y) est liée, tu écrit y=ax par exemple, puis
[tex]f(y)=af(x)=aUx[/tex] et [tex]f(y)=Vy=Vax[/tex]

Fred.

picatshou

Invité

Re : ev,DLet lim [Résolu]

Salut ,merci bien mr Fred , c'est gentil .
à la prochaine discussion ma chère équipe bibmath !