Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zemzm

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Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

bonsoir tout le monde,

je rencontre des difficultés  sur  l'intégration de certaines fonctions. il se trouve que j'ai du mal a saisir l'utilisation de changement de variable pour l'intégration d'une fonction. en effet je n'arrive pas a voire comment utiliser la formule de changement de variable. F(u(x))'u(x)'= ᶴ f(u(x))u(x)'.
merci par avance pour toutes vos réponses.

Fred

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Re : Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

Bonsoir,

  Ce serait plus facile si tu nous donnais un exemple de ce que tu dois calculer,
que l'on t'aide sur cet exemple.

Fred.

zemzm

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Re : Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

salut fred merci pour ta réponse,

ok je donne un exemple,  [tex]\int^{pi/4}_{0}[/tex]  (sin t)^3 /1+(cos t)² dt
d'après l'énoncé il faut utiliser le changement de variable.
ou un autre exemple serait: [tex]\int^{}_{}[/tex] [tex]\sqrt{e^x-1}[/tex]  dx

ce qui m'échappe c'est le procédé de calcule, et les étapes de  l'utilisation de changement de variable.j'utilise biensûr la formule mais je n'arrive pas a conclure.
merci pour vos réponses.
zemzm

Fred

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Re : Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

Alors, comme cela, ce sera plus facile.

Dans le premier cas, on va effectuer le changement de variables suivant :

[tex]u=\cos(t)[/tex]

Il faut voir comment se transforme l'intégrale en fonction de cette nouvelle variable.

D'abord, [tex]1+\cos^2(t)=1+u^2[/tex], ca c'est facile.

Ensuite, il faut exprimer [tex]\sin^3(t)dt[/tex] en fonction de u et du.
Pour cela, on dérive (à la physicienne) l'équation [tex]u=\cos(t)[/tex]
On trouve :
[tex]du=-\sin(t) dt[/tex]
(c'est ici le point un peu critique, ca peut ressembler à une recette de cuisine, mais cela
correspond à la traduction pratique de la formule théorique).
Ensuite, on écrit
[tex]\sin^3 t dt=\sin^2(t) \sin (t)dt=(1-\cos^2 t)(-\du)=-(1-u^2)du[/tex]

Enfin, il faut changer les bornes :
Pour t=0, alors u=cos(0)=1.
Pour t=pi/4, alors [tex]u=\cos(pi/4)=\sqrt{2}{2}.[/tex]

L'intégrale est donc égale à
[tex]-\int_{1}^{\sqrt{2}/2}\frac{1-u^2}{1+u^2}du=\int_{\sqrt{2}/2}^{1}\frac{1-u^2}{1+u^2}du[/tex]

Il ne reste plus qu'à finir le calcul...

Fred.

zemzm

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Re : Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

salut fred,
je reviens vers ton aide pour la résolution de la première intégrale. en effet je ne vois vraiment pas ou tu as utilisé la formule de changement de variable. pour moi la formule est :f(t)dt =F(q(t))q(t)' dx et je ne la vois pas.
enfin c est toujours ambiguë.
merci pour ta réponse

Fred

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Re : Intergration avec changement de vaiable [Résolu]

Bonjour,

  Alors je recommence.
Tu écris ton intégrale sous la forme suivante :

[tex]I= \int_0^{\pi/4}\frac{1-\cos^2(t)}{1+\cos^2(t)}\sin(t)dt[/tex]

Tu poses ensuite [tex]f(u)=-\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]
et [tex]\phi(t)=\cos(t)[/tex]

Alors
[tex]I=\int_0^{\pi/4}f(\phi(t))\phi'(t)dt[/tex]
Et là tu appliques la formule du changement de variables :
[tex]I=\int_{\phi(0)}^{\phi(\pi/4)}f(u)du[/tex]

Cela dit, en pratique, on présente toujours les calculs comme dans mon premier message.

Fred.