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#1 15-03-2009 12:33:01

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Réduction simultanée [Résolu]

Bonjour les bibmatheux !

J'ai encore besoin de vous. J'ai un petit problème sur une partie de cours.
Je voudrais savoir le pourquoi du comment du théorème :

Soit un produit scalaire <,> de E (de dimension finie) et soit q une forme quadratique associé à f.
Il existe une base B telle que :
1. orthonormale pour <,> (<ei,ej>=dij (kronecker))
2.orthogonale pour q : <f(ei),ej>=0 si i différent de j

A partir de ce théorème on retrouve assez facilement le théorème de la réduction simultanée que l'on apprend.

Si vous avez une idée de la preuve de l'existence d'une telle base, je suis preneur !

Bises de Cléo


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
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#2 15-03-2009 16:46:20

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Salut,
C'est un problème pas vraiment évident, mais seulement parce qu'il ne faut pas se mélanger les pinceaux dans les objets utilisés et lever un maximum les ambiguïtés qui planent sur les notation ...
La solution découle du théorème de diagonalisation des matrices symétrique en base orthonormée. Tout le boulot consiste à la faire apparaître la-dite matrice symétrique ...
Au passage, il y a déjà un problème de notation ici : si f est une forme bilinéaire symétrique, il ne convient pas de la noter avec un seul argument (sauf si tu considères l'application linéaire associée de E dans E* ... mais alors attention : les crochets représentent les crochets de dualité et non le produit scalaire!)

++

Dernière modification par Barbichu (15-03-2009 16:53:26)


Barbichu

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#3 15-03-2009 18:58:08

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Oui, je vois bien que ce n'est pas une question facile... Il découle effectivement du théorème spectrale. Je te remercies de m'avoir répondu tout de même. Si vous avez un lien où il y a la démonstration ou autre, je suis preneur.

Bises de Cléo


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#4 15-03-2009 20:47:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Salut Cléopatre,

  Considère M la matrice de ta forme bilinéaire symétrique f dans une base orthonormale du produit scalaire.
Alors c'est une matrice symétrique.
Il existe donc une matrice inversible P telle que [tex]M=PDP^t[/tex]. Autrement dit, il existe une base qui est toujours orthonormale pour le produit scalaire (car on réduit un endomorphisme symétrique, ou que l'inverse de P est égale à la transposée de P) dans laquelle la matrice de f est diagonale. C'est la base que tu recherches.

Fred.

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#5 28-03-2009 10:29:49

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Bonjour Fred !

Oui c'est exact ! Merci Fred. Cela faisait longtemps que je la cherchais cette démo. C'est vrai, il faut y penser quand même. Mais bon je t'avoues que j'avais plutôt du mal à voir les choses avec les bases orthonormée je me mélangeais un peu les pinceaux.

Après avec sa, la réduction simultannée tombe facilement. Je voudrais juste savoir un truc. Avec cette démonstration on a forcément [tex]P^{-1}=^{t}P[/tex]. Mais pour le théorème simultannée on a exactement :
[tex]^{t}PAP= I[/tex] et [tex]^{t}PBP= D[/tex] avec A symétrique définie positive et B symétrique.
Cependant, on n'a pas [tex]P^{-1}=^{t}P[/tex] et on n'a même pas l'assurance de l'existence. Je t'avoues que cela reste un peu floue pour moi. J'espère que tu m'a comprise. Je vois bien que dans les démonstrations on ne part pas de la même base. Dans l'un on part d'une base orthonormale pour le produit scalaire et dans l'autre on part d'une base canonique. Je ne vois pas pourquoi en partant d'une base orthonarmale pour A on aurait pas [tex]P^{-1}=^{t}P[/tex]..

Merci à toi Bises de Cléo


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#6 28-03-2009 15:07:17

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Euh...non, je ne comprends pas ce que tu écris...

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#7 28-03-2009 17:53:59

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Je me disais bien que je n'étais pas clair.

En fait, pour être plus clair dans mon cour on a le théorème de la réduction simultannée :
[tex]^{t}PAP= I[/tex] et [tex]^{t}PBP= D[/tex] avec A symétrique définie positive et B symétrique.
Mais on a pas [tex]P^{-1}=^{t}P[/tex] dans le théorème.
Cependant, pour le théorème que tu as démontré, on a [tex]P^{-1}=^{t}P[/tex].

Bon désolé vu que cela part d'une incompréhension de ma part, c'est difficile d'être compréhensif...

Bises de CLéo


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#8 28-03-2009 22:15:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Réduction simultanée [Résolu]

Oui, dans le théorème que tu mentionnes, on n'a pas de raison d'avoir [tex]P^{-1}={}^tP[/tex],
car P n'est pas la matrice de passage d'une base orthonormale à une autre, P est juste la matrice de passage de la base canonique à une base orthonormale pour la forme bilinéaire symétrique.

Fred.

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