Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SébastienB

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calcul de prédicat [Résolu]

Bonjour,

Comment démontrer que [tex](\forall x > 0) (\exists y > 0) (\forall z > 0)  ( |z-2| < y \Rightarrow |z^2-4| \leq x )[/tex] est vraie ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Fred

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Re : calcul de prédicat [Résolu]

Bonjour,

  On a, utilisant (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) et [tex]z+2=z-2+4[/tex]

[tex]|z^2-4|  \leq |z-2| \times(|z-2|+2)[/tex]

Soit, pour [tex]x>0[/tex] fixé, un réel [tex]y>0[/tex] tel que [tex]y^2+4y\leq x[/tex]
-un tel réel y car la limite de la quantité de gauche en zéro est nulle.

Alors, on a, pour [tex]|z-2|<y[/tex]
[tex]|z^2-4|\leq y\times (|z-2|+4)\leq y\times (y+4)\leq x[/tex].

Fred.

SébastienB

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Re : calcul de prédicat [Résolu]

Bonjour,

Merci pour ta démonstration, mais je ne te suis pas.

C'est peut être plus simple de démontrer que la proposition inverse [tex](\exists x > 0)(\forall y > 0)(\exists z > 0)  (|z - 2| < y \wedge |z^2 - 4| \geq x)[/tex] est fausse

Sinon, dans la première proposition si on prend pour valeur z = 2, je crois que ça marche [tex]\forall y > 0[/tex], et pas seulement pour un tel y, d'ou une ambiguité d'après moi.

Je demanderai au prof de maths qui a écrit ce prédicat dés que je peux. (j'imagine que se gourer de quantificateur pour les mathématiciens c'est comme faire une faute d'ortographe;). Car je me demande si le prédicat de départ est bien juste maintenant.

De plus si on prend une valeur > 2 pour z ça n'est plus vrai [tex]\forall x > 0[/tex] ?

@+

Fred

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Re : calcul de prédicat [Résolu]

Bonsoir,

  Même si tu ne me comprends pas, une chose est sûre, cette proposition est vraie.
Elle exprime simplement que la fonction carré est continue au point 2,
c'est-à-dire que si z est très proche de 2, alors z^2 est très proche de 2^2=4.

Fred.

SébastienB

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Re : calcul de prédicat [Résolu]

Bonsoir,

Je viens de voir la page web sur la continuité : http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité

C'est déja un peu + clair; et la proposition est vraie, je suis d'accord.

Merci bcp pour tes explications

@+