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tevuac

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PI/4 limite de la suite..... [Résolu]

Bonjour

Je travaille aujourd'hui sur les exemples d'utilisation d'intégrales pour l'étude de suites ou de séries
Je ne vois pas d"exemples en ce qui concerne les suites
Pour les séries je pense critère intégral de Cauchy, aux sommes de Riemann ( plus ou moins compliquées)
J'ai aussi trouvéer l'exercice suivant:

Montrer que pour tout  x de [0,1] et pour tout n de N on a

[tex]\frac{1  }{1\,+\,{x}^{2}}\,=\,1\,-\,{x}^{2}+\,{x}^{4}-\,.........+{\left(-1\right)}^{n}{x}^{2n}+\,{\left(-1\right)}^{n+1}\,\frac{{x}^{2n+1}}{1\,+\,{x}^{2}}[/tex]

Montrer que la limite  ( en + infini) de [tex]\int^{1}_{0}\frac{{x}^{2n+1}}{1\,+{x}^{2}}dx\,est\,nulle[/tex]

En déduire [tex]\frac{\pi }{4}=\,1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...........{\left(-1\right)}^{n}\frac{1}{2n+1}[/tex]

Le résultat m'intéresse mais j'ai l'impression que l'egalité initiale est fausse ex n=2. Est-ce le cas

Merci pout tout aide sur le sujet

Fred

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Re : PI/4 limite de la suite..... [Résolu]

Bonjour,

  Il faut remplacer [tex]x^{2n+1}[/tex] par [tex]x^{2n+2}[/tex] dans la première égalité.

Pour les sommes de Riemann, cela s'applique plutôt à des suites qu'à des séries
(jette un coup d'oeil au troisième exo de http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … ioneno.pdf
-même si des sommes apparaissent, ce n'est pas pour autant qu'il y a des séries en jeu).

Pour application aux suites, on peut aussi penser à la formule de Stirling que l'on obtient
en utilisant les intégrales de Wallis.
Il ne faut pas oublier la comparaison série/intégrale : comment étudie la convergence des séries de Riemann,
et surtout comment obtient-on des encadrements précis du reste.
Et puis, suites et séries, cela ne signifie pas simplement séries numériques....on peut penser à des exs concernant les séries de fonctions.

Fred.

tevuac

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Re : PI/4 limite de la suite..... [Résolu]

Merci Fred 
Je vois que j'ai encore beaucoup de travail mais tes réponses m'encouragent toujours
- je vais pouvoir reprendre l'ex cité dans ma question
- effectivement, que suis-je étourdie, les sommes de Riemman concernent bien les suites
En ce qui concerne les autres remarques, elles sont bienvenues et je vais les exploiter dès que possible
Au fait , en ce qui concerne l'agreg interne, j'ai pris une bonne claque mais c'était prévisible. Je vais essayer de contourner l'obstacle en me donnant un peu plus de temps.

merci encore pour votre efficacité

Dernière modification par tevuac (25-03-2009 12:42:55)