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poline72

Invité

parallélépipède rectangle [Résolu]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais j'ai quelques problèmes:

Déterminez les dimensions d'un parallélépipède rectangle de surface égale à 8 rendant maximale(resp minimale) son volume.

alors V = abc et S= 2ab+2bc+2ac=8 je pensais exprimer a en fonction de b et c dans la formule de la surface et ensuite remplacer ce a dans la formule du volume puis poser une fonction à deux variables pour trouver les extrémums en résolvant le système df/db=0 et df/dc=0 mais je trouve des expressions compliquées...

Pouvez vous m'éclairer s'il vous plait
merci d'avance

Barbichu

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Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

Salut,
Pour la minimisation du volume, c'est trivial, les parallélépipèdes plats sont les solutions.

Pour la maximisation, j'avoue que l'étude d'une surface dans IR³ est assez rebutante. On ne comprend pas très bien ce qu'il se passe, ni quels termes on doit isoler à priori. Il faut d'abord imaginer ce qu'il se passe ou bien mener une étude plus fine en perturbant une paire de cotés (on remplace [tex]a[/tex] par [tex]a+\varepsilon[/tex] et [tex]b[/tex] par [tex]b-\lambda[/tex] et on observe ce qu'il se passe), cela permet même de trouver la solution.
(Je peux éventuellement développer ce point)

Sinon je peux te dire que tu peux trouver un moyen d'exprimer [tex]\frac{dV(b,c)}{db}[/tex] comme le produit de quelque chose de positif par [tex](a-b)[/tex] ce qui permettra de conclure.
(Si tu ne trouve vraiment pas je peux te donner le calcul, après il faudra quand même trouver comment conclure)

++

Dernière modification par Barbichu (28-10-2008 16:03:03)

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Barbichu

poline72

Invité

Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

salut

En effet j'ai exprimer dV/db (b,c)=c^2(a-b)/(b+c) et dV/dc(b,c)=b^2(a-c)/(b+c) je pense supposer que (b,c) différent de (0,0) ainsi lorsque l'on résout le système égale à 0 après je trouve de nombreuses solutions mais je ne sais pas comment faire pour conclure
est ce que je dois calculer les dérivées secondes de V mais pour cela je suis obligé de reprendre la forme de dV avec seulement b et c et calculer
dv^2/(dbdc) - (dv/db)^2*(dv/dc)^2 pour chaque solution en étudier le signe et conclure sur le fait que ce soit un minimum ou un maximum ?

Barbichu

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Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

Re,
j'ai la même chose que toi pour les dérivés premières. Mais pas besoin d'étudier les dérivés secondes...

Tu sais déterminer la croissance de V en fonction de b pour c fixé. Mais par symétrie tu sais exprimer en fait la croissance de V en fonction de n'importe quelle variable, en ayant fixé n'importe quelle autre (mais une seule fixée).
Fait donc varier une par une les variables de ton triplet (a,b,c) et tu trouvera le maximum.
(La preuve suivra en appliquant dans le bon sens des transformations qui font croitre le volume)

Tu me suis ?
++

Dernière modification par Barbichu (28-10-2008 17:40:16)

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Barbichu

poline72

Invité

Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

re

excuser moi mais je n'ai pas très bien compris comment faire, en fait je dois faire varier a, b, c dans les dérivées calculer précédemment pour quelle se rapproche de 0? mais on ne sera pas si c'est un max ou un min?

Barbichu

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Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

Re,
tout d'abord il faut remarquer que grâce à l'expression de dV(b,c)/db, tu sais quand V est croissante et quand V est décroissante (il faut d'abord exprimer clairement ce "quand"). Ensuite quand je dis "faire varier a,b et c" c'est pour faire augmenter la valeur de V(a,b,c) en tenant compte des phénomènes de croissance précédemment étudiés.
Trouve quelle raison ferait qu'on ne pourrait plus augmenter la valeur de V(a,b,c) et tu aura ta solution, il restera à la démontrer proprement.
c'est plus clair ?
++

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Barbichu

poline72

Invité

Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

oui en effet c'est plus clair  la croissance et la décroissance se fait en fonction du signe de la dérivée et je vais réfléchir plus pronfondément sur a, b et c

poline72

Invité

Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

re
je pense avoir trouver la solution il faut que a=b=c pour que V n'augmente plus
dite moi si c'est la bonne solution j'ai une petite démonstration qui consiste à dire que V croissante si a>b et a>c et donc ce a est en fait un maximum dans les deux cas c'est pourquoi a=b=c dite moi si mon raisonnement tiens la route

Barbichu

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Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

Re,
oui, la réponse est bien que V est maximal lorsque a=b=c.
Par contre tu n'as pas écrit de preuve de ce que tu dis, tu as juste énoncé des arguments, lesquels peuvent te permettre de conclure en exposant le raisonnement qui les utilise.
++

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Barbichu

Tom

Invité

Re : parallélépipède rectangle [Résolu]

Soit A l'aire du parapllelepipede rectangle, a b et c les longueurs de ses 3 arretes.
On a la relation A/2=ab + bc+ ca.
Le volume est V=abc.
Le voume du solide est extremum si grad(V)=0 soit le systeme :
ab=0
bc=0
ca=0

Premiere solution : a=b=c=0 ne nous interesse pas car cela minimise le volume (V=0)
Seconde solution : on substitue les valeurs de ab bc et ca grace a la relation de A, cela donne :
A/2=ab +bc   (1)
A/2=ab +ca   (2)
A/2=ac +bc   (3)

une combinaison lineaire de ces 3 equation ( (1)-(3), (1)-(2) et (2)-(3) ) on trouve ab=bc=ca. cela correspond a un cube de coté a ( ou b ouc). V=a^3 d'ou V=(A/6)^(3/2)