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Jujulecitron

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[Résolu] Espace affine et espace vectoreil associé

Bonjour,

Si je me donne un espace affine E est-ce que l'espace vectoriel associé à cet espace affine est unique ?
Réciproquemment, si je me donne un espace vectoriel, est-ce qu'à cet espace vectoriel on associe un unique espace affine ou bien plusieurs ?

Je pense que dans le premier cas c'est vrai et que dans le second à un espace vectoriel on peut associer plusieurs espaces affines car les espaces affines s'écrivent sous la forme A+E où A est un point et E un espace vectoriel donc on peut choisir plusieurs points donc plusieurs espaces affines..
Mais à vrai dire je n'y crois pas trop...
Merci de m'aider.

galdinx

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Re : [Résolu] Espace affine et espace vectoreil associé

En effet, un espace affine se décrit apr la somme d'un esapce vectoriel et d'un vecteur.
Pour que tu comprennes bien, prenons l'exemple en dimension 2.
L'ensemble des espaces vectoriels est alors les droites vetorielles, a savoir les droites passant par l'origine d'équation y = a*x (en proba cela représente la proportionnalité ou les fonctions linéaires).
L'ensemble des espaces affines (parrallèle avec les fonctions affines) est l'ensemble des droites du plan d'équation y = a*x +b

ainsi tu vois bien qu'en dimension 2 un espace affine est alors la somme d'un espace vectoriel unique est d'un vecteur.
En revanche, a un espace vectoriel, on peut associer une infinité d'espaces affines en changeant simplement le vecteur (en dimension 2 ce sont toutes les droites parallèles a la droite vectorielle)

L'explication en dimension 2 n'est bien sur pas une démonstration pour la dimension n, mais je l'espère t'aidera a comprendre le principe...