Développement limité [Résolu]

picatshou · 27-02-2009 20:43:10

Bonsoir ,
comment allez vous Bib math ?
Dans un exercice il est demandé de caculer le DL2 de la fonction ( arctg (de la racine carrée de (x)) remaque désolé pour l'ecriture en toutes lettres (toujours le même problème de JAVA ) alors j'ai décidé avec la méthode de taylor young et j'ai trouvé le résultat suivant :arctg(2^(1/2))+(x/3)-(2*2^(1/2))/9)x^2+ o(x^2)
Dns quelle mesure ma réponse est juste ?
Merci d'avance.

picatshou · 27-02-2009 20:51:28

Salut , pardon j'ai oublié de vous dire que le DL est demandé en X=2.
Merci.

Fred · 27-02-2009 21:26:26

Bonsoir Picatshou,

Je crois que ton résultat est faux.
Quelle est la dérivée que tu as trouvé pour la fonction?

Fred.

Roro · 27-02-2009 22:45:16

Bonsoir,

Je suis bien entendu d'accord avec Fred, mais sans faire aucun calcul (ni même de dérivée), il est surprenant de voir comme dernier terme de ton développement "o(x^2)" puisque si tu cherches un développement au voisinage de x=2, le reste serait plutôt "o((x-2)^2)".

Bref, je te laisse répondre à Fred car c'est effectivement le calcul de la dérivée qui doit te permettre d'obtenir le développement que tu cherches.

Roro.

picatshou · 28-02-2009 09:10:03

bonjour,
merci beaucoup Mrs Fred et Roro ,en fait j'ai commis une faute très grave au niveau de la dérivée ,il s'agit d'une fonction composée ! je l'ai considérée comme simple ,et puis je veux vous poser une question pour montrer que (x-(x^3/6))<=sinx<=(x-(x^3/6)+(x^5/120)) je veux utiliser la formule de taylor avec reste intégral , mais , je n'ai rien trouvé .
Que je puisse faire ?
merci d'avance!

Fred · 28-02-2009 18:54:51

Bonjour,

C'est une très bonne idée d'utiliser la formule de Taylor avec reste intégrale.
Alors, pour commencer, écris nous cette formule appliquée à la fonction sin entre 0 et x,
disons à l'ordre nécessaire pour obtenir x-x^3/6.

Fred.

picatshou · 28-02-2009 20:23:12

bonsoir Mr Fred ,
en fait j'ai voulu montrer que 0 <= sinx-(x-(x^3/6))et que sinx-(x-(x^3/6)+(x^5/120))<=0
mais ,pour les deux je trouve le reste intégrale négatif ,en effet, les deux intégrales sont à puissances négatives .
Que je puisse faire ?
Merci d'avance !

picatshou · 28-02-2009 20:25:57

salut ,
je m'excuse ce n'est pas à puissances(négatives ) mais plutot impaires .
Merci!

Fred · 28-02-2009 21:07:46

Re bonsoir Mr Picatshou,

Je ne comprends pas trop par ce que tu veux dire par "intégrale à puissance impaire".
Mais j'imagine que tu parles de dérivée d'ordre impair du sinus. Or,
les dérivées d'ordre impair du sinus n'ont pas forcément le même signe.
Par exemple, (sin)'=cos et (sin)'''=-cos....

Alors, ou ca te suffit pour compléter ta preuve, ou tu écris exactement la forme de ton reste
(sous la forme intégrale de ... à ... de ...).

Fred.

picatshou · 01-03-2009 11:23:57

bonjour,
Mr Fred ce que j'ai voulu dire hier ,c'est que les fonctions à intégrer sont l'une à la puissance 3 et l'autre à la puissance 5 ,et après calcul je trouve deux résultats négatives pas une <=0 et autre >=0!
je souhaite que mon point de vue est clair maintenant ?
pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance!

Fred · 01-03-2009 12:23:09

Certes Mr Picatshou, mais cette fonction a une puissance 3 ou 5,
elle est aussi multipliée par une dérivée n-ième du sinus....
Et cette dérivée n-ième a un signe elle aussi, qui n'est pas le même si on dérivé trois fois et si on dérive cinq fois.
Je persiste à te dire que tu dois écrire en entier ici ton reste intégral pour que tu te rendes compte de ton erreur.

Fred.

picatshou · 01-03-2009 13:42:09

Salut,
merci beaucoup mr Fred.
S'il vous plait avez vous une idée sur la réduction de l'intégral de (Lnx)^n?
Merci d'avance.

cléopatre · 01-03-2009 15:08:47

Bonjour picatshou!

Moi je veux bien t'aider mais la question est flou... La réduction de l'intégrale de (ln x)^n. n est une puissance ? La dérivée n ième ?

;) Bises de Cléo

picatshou · 01-03-2009 15:54:42

bonjour Cléopatre , oui ma chère n est une puissance ,en fait je cherche à réduire cette expression càd la rendre plus simple !
Merci bien pour ton support !

picatshou · 01-03-2009 18:34:32

salut Bib math avez vous une réponse s'il vous plait?
merci.

Fred · 01-03-2009 22:11:10

Salut,

Je te recommande une intégration par parties, en écrivant ln(x)^n=1.ln(x)^n,
et en dérivant le ln et intégrant 1.

Fred.

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