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iamismael

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Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

bonjour
je cherches à résoudre un exercice mais je bloque à un moment donné . je pense faire un blocage sur la matrice de l'endomorphisme Im(v)
je vous expose l'énoncé :
Soit E un espace vectoriel  de dimension finie n et u , v deux endomorphismes de E tels que u°v=0 et u+v est inversible .
Montrer que rang(u) +rang(v) = n

j'attends des propositions de résolution voir si elle concorde avec mon ébauche sinon je vous en ferais part .
merci d'avance

Fred

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

Bonjour,

  Alors, voici comment on peut traduire les hypothèses :

- uov=0 entraine Im(v) inclus dans Ker(u), ie rg(v)<=dim(ker(u))
Donc, d'après le théorème du rang, on obtient
n=dim(Ker(u))+rg(u)>=rg(v)+rg(u).

- u+v est inversible entraine que Im(u+v)=E.
Or, il est facile de voir que Im(u+v) est inclus dans Im(u)+Im(v) qui est de dimension inférieure ou égale à dim(Im(u))+dim(Im(v)). On obtient donc rg(u)+rv(v)>=n.

En comparant les deux résultats, on a rg(u)+rg(v)=n.

Fred.

iamismael

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

merci pour cette méthode je vais m'y pencher dès maintenant .
mais est t-il possible, comme je l'avais commencé , : de passer par les matrices :

on a   Im (v) inclus dans ker (u )
on pose B1 = (e1,e2,...,ep) = la base de ker ( u)
que l'on complète par une base B2 = (ep+1,...,en)  --> on obtient la base B = ( e1, ... , en)

ainsi Mat u par B = u(e1)   u(e2) .........u(ep) u(ep+1)...............u(n)
                               0        0                  0                                 
                               0        .                                 U1
                               0        .                                 
                               0        .
                               0        .
                               0        0..................0             U2                U1 et U2 deux blocs de Mat u
et faire de même avec v ?
je n'arrive pas a voir quel matrice on obtient pour v ...
du coup je n'arrive pas à finir ...
cela dit merci pour cette réponse rapide

Fred

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

Bonsoir,

  C'est sans doute possible de procéder avec des matrices.
Pour v tu peux dire que sa matrice ne comporte que des termes
nuls en dehors des p premières lignes.

Ensuite, avec u+v, tu obtiens une matrice par blocs, tu dois analyser quand elle est inversible
et retraduire cela en terme de rang....

F.

iamismael

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

re bonsoir

pourquoi est ce que la matrice obtenu pour v contient des termes nul a partir de la p+1-ieme ligne ( je sais que ça a un rapport avec le faite que l'image de v est incluse dans le ker (u) ) mais comment l'obtient-on ?

et encore merci pour tout

Dernière modification par iamismael (20-02-2009 02:37:06)

Fred

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

Re-

  Parce que v(e_1) est élément de ker(u), donc
s'écrit v(e_1)=a_1e_1+...+a_pe_p=a_1 e_1+...+a_p e_p+0 e_{p+1}+...+0e_n

F.

iamismael

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Re : Réductions des endomorphismes et matrice d'un end... [Résolu]

très bien . merci infiniment