Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zemzm

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La somme de DARBOUX. [Résolu]

bonsoir tout le monde,
j'aurai besoin de quelques explication concernant la somme de Darboux. a quoi elle sert? et aussi comment on la calcule.les deux formul pour , sup, inf sont les meme, est ce le cas?
si par exemple on f (x)= x² sur [a,b]=I= [0,1], dans ce cas comment calculer la somme?.
en effet j'ai pas du tout compris la formule donnée en cours. je sais que on parle de somme supérieur et inférieur, j'ai compris la représentation graphique mais le reste c est le flou totale.
merci d 'avance  pour vos réponses.

Fred

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Re : La somme de DARBOUX. [Résolu]

Bonjour,

  Alors, prenons la fonction f(x)=x^2 et la subdivision [0,1/3], [1/3,2/3], [2/3,1].

Pour calculer la somme de Darboux supérieure, on cherche le maximum de f sur chaque intervalle, ici
ca vaut respectivement, 1/9 (max en 1/3 sur [0,1/3]),  2/9 (max en 1/3), et 1 (max en 1).

La somme de Darboux inférieure associée à cette subdivision vaut :
1/9*1/3+2/9*1/3+1*1/3 =4/9

Pour calculer la somme de Darboux inférieure, on cherche le minimum de f sur chaque intervalle,
ici 0, 1/9, 2/9.

La somme de Darboux supérieure associée à cette subdivision vaut :
0*1/3+1/9*1/3+2/9*1/3=1/3

L'idée des sommes de Darboux, c'est que l'intégrale de f sur un segment sera comprise entre la somme de Darboux inférieure et la somme de Darboux supérieure.
Une fonction sera Riemann-intégrable si les sommes de Darboux inférieures et supérieures ont même limite....

Fred.

zemzm

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Re : La somme de DARBOUX. [Résolu]

bonsoir fred,
merci pour tes réponse. j'ai nettement mieux compris l 'utilité des somme de darboux .
pour être sur des calcule.
si j'ai f(x)=Xet I=[0, 1] et la sub division x0 =0 et x1 qui est donnée.
s(f,Delta) inf =f(0)*0+f(0)*1=0
S(f,Delta)sup=f(1)*1+f(1)*0=1
est ce que ce calcule est juste? ou pas du tout.
merci pour ta réponse, bonne soirée.

Fred

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Re : La somme de DARBOUX. [Résolu]

Salut,

  On obtient bien 0 et 1, mais j'aurais écrit simplement s(f,delta)=1*f(0)=0 et S(f,delta)=1*f(1)=1.

Fred.

zemzm

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Re : La somme de DARBOUX. [Résolu]

bonsoir,
merci beaucoup pour toutes vos réponse. j'ai bien assimiler cette notion  de somme de darboux.
très bonne soirée.
zemzm