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sophie

Invité

[Résolu] equation-différencielles

J'ai un méga problème avec les équations différentielles...
Comment résoudre celle-ci par exemple?:

y" + y = Sigma (de n=1 à infini) (cos (nx)/n²)

Merci d'avance !

JJ

Invité

Re : [Résolu] equation-différencielles

La méthode habituelle est la suivante :
Les solutions de l'équation sans second membre y+y'=0 sont y=a.exp(-x) avec (a) constante.
La méthode de la "variation de la constante" pour l'équation complète, donc en considérant une fonction a(x) conduit à :
y' = -a.exp(-x)+a'exp(-x)
y+y'=a'exp(-x) = Sigma (de n=1 à infini) (cos (nx)/n²)
a' = Sigma (de n=1 à infini) (exp(x) cos (nx)/n²)  que l'on intègre :
Somme de  exp(x) cos (nx) dx = exp(x)(cos(nx)+n sin(nx))/(1+n²)+constante
a = Sigma (de n=1 à infini) (exp(x)(cos(nx)+n sin(nx))/(1+n²) + constante)/n²)
Sigma (de n=1 à infini)(constante/n²) est une constante = C
a = exp(x)Sigma (de n=1 à infini)(cos(nx)+n sin(nx))/((1+n²)n²))
y(x) = C.exp(-x)+Sigma (de n=1 à infini)(cos(nx)+n sin(nx))/((1+n²)n²))
.
Une autre méthode consisterait à considérer la fonction f(x)=Sigma (de n=1 à infini) (cos (nx)/n²)
donc définie en tant que série de Fourier sur 0<x<2pi et périodique sur -infini<x<+infini de période 2pi.
Le calcul de cette fonction, supposant connaitre les propriétés des séries de Fourier, conduit classiquement à :
f(x) = (1/4)(x-pi)² - (pi)²/12
On est ainsi ramené à la résolution de l'équation différentielle
y+y' =  (1/4)(x-pi)² - (pi)²/12
ce qui ne pose pas de difficulté par la méthode habituelle.
Le résultat qui est valable sur 0<x<2pi  est étendu sur l'ensemble des réels par translation périodique de période 2pi : c'est, en fait, la fonction explicitée correspondant à la série de Fourrier qui figure dans la formule y(x) obtenue précédemment.

sophie

Invité

Re : [Résolu] equation-différencielles

Merci pour ton aide...! Le seul probleme c'est que c'est une équa diff du second degré y" + y = ....
J'ai regardé certains cours et si j'ai bien compris il faut que je calcule le déterminant de ar²+br+c si l'équa diff est de la forme ay" + by' + cy = ... et en fonction de si je trouve une ou plusieures racines réelles ou complexes je peut calculer le résultat. Mais c'est là que je bloque, et je suis déjà même pas sur que c'est la bonne méthode...
Surtout que à mon avis ca n'est pas la même méthode pour une équa diff de la forme ay"+by'+cy = f(x) que pour une de la forme ay"+by'+ cy= 0
Aidezzzzzz moi ;)
merci d'avance

JJ

Invité

Re : [Résolu] equation-différencielles

Ha, oui, c'est y''. J'avais lu y' (la confusion était possible sur mon écran, mais en y regardant de plus près...)
Bon, cela ne change pas les méthodes : soit on résout l'équation
y+y'' =  (1/4)(x-pi)² - (pi)²/12 (si vous connaissez les séries de Fourier)
soit c'est la méthode classique : solutions de l'équation sans second membre y+y''=0 ce qui donne
y=a.cos(x)+b.sin(x)  où a et b sont des constantes.
à laquelle il faut ajouter une solution particulière de l'équation complète.
On peut en trouver une avec la méthode de "variation des constantes" donc avec a(x) et b(x). Mais il est encore plus simple, dans le cas de cette équation où le terme de droite est constitué de fonctions cos(nx), de prévoir que la solution particulière sera de la forme :
Y(x)=Sigma (de n=1 à infini) (An.cos(nx)) avec les An qui sont des constantes à déterminer.
Pour cela, il faut que :
Y+Y'' = Sigma (de n=1 à infini) (cos (nx)/n²)  et
Y+Y'' = Sigma (de n=1 à infini) (An.cos(nx)-n²An.cos(nx))
donc An(1-n²) = 1/n²
An = 1/(n²(1-n²))
Y(x) = Sigma (de n=1 à infini) (cos(nx)/(n²(1-n²))) 
Les solutions sont finalement :
y =  a.cos(x)+b.sin(x) +Sigma (de n=1 à infini) (cos(nx)/(n²(1-n²)))  avec a et b constantes quelconques.

sophie

Invité

Re : [Résolu] equation-différencielles

merci beaucoup !!:)