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tibo

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Equation de Bessel [Résolu]

Bonjour,

Lors de la résolution de l'équation de Bessel:
[tex]x^2.y"(x)+x.y'(x)+(x^2-m^2)y(x)=0[/tex]
on passe par les séries entières et on obtient la solution:
[tex]J_m(x)= \left( \frac{x}{2} \right)^m \sum_{n=0}^{\infty} \frac { (-1)^n x^{2n}}{2^{2n} n! \Gamma (n+m+1)}[/tex]
(pour plus d'info : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … essel.html)

Mon problème est que Jm est effectivement une série entière si et seulement si m est entier.
Est-ce-qu'il y a un moyen de contourner ce problème?

Et il est possible de démontrer que Jm est solution (ce a quoi je galère quand même), mais , juste pour le plaisir, est-il possible de trouver Jm?

Dernière modification par tibo (01-02-2009 17:22:45)

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Fred

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Re : Equation de Bessel [Résolu]

Bonjour Tibo,

  J'ai peur de ne pas très bien comprendre ta question.

-Que veux-tu dire par trouver J_m??? L'exprimer en fonction des fonction usuelles???
C'est impossible! Jm est ce qu'on appelle une fonction spéciale. On peut la définir de plusieurs façons différentes, mais jamais comme somme, produit, composée de fonctions usuelles.
-"Est-ce qu'il y a un moyen de contourner ce problème?" Si la question est, peut-on trouver une expression de Jm solution même lorsque m n'est pas entier, alors sur la page que tu cites en référence il est expliqué qu'en cherchant la solution sous une bonne forme, on peut qd même résoudre l'équation grâce aux séries entières.

Fred.

tibo

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Re : Equation de Bessel [Résolu]

Je me suis mal exprimé.

En fait pour résoudre l'équation, j'ai supposé y DSE, j'ai remplacé dans l'équation et j'obtiens (sauf erreur de calcul):
[tex]a_n(n^2-m^2)=-a_{n-2}[/tex]

Ensuite j'ai pris l'expression de Jm et j'ai montré qu'elle respectait la condition ci-dessus (enfin j'essaye).
Le problème c'est que pour m non entier, Jm n'est pas une série entière, donc est-ce que j'ai le droit de faire ça? ou plutôt est-ce que ça montre rigouresement que Jm est solution?

Et "peut-on trouver Jm?"
La je suis allé cherché Jm sur le lien, et je ne fais que démontrer qu'elle est solution.
Comment Bessel a-t-il trouvé une fonction pareill? par hasard? je ne pense pas. Comment "découvrir" Jm?

Dernière modification par tibo (01-02-2009 19:45:49)

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Fred

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Re : Equation de Bessel [Résolu]

Bonsoir,

  C'est un peu plus compliqué. On cherche une solution sous la forme
[tex]y(x)=x^m h(x)[/tex]
où h est développable en série entière. Si je fais confiance, les coefficients du DSE de h vérifient
la relation de récurrence :
[tex]a_0\textrm{ quelconque},\ a_1=0,\ a_n=-((n+m)^2-m^2)a_{n-2}[/tex]

Ceci montre que [tex]a_{2k+1}=0[/tex] pour tout k, et que
[tex]a_{2n}=\frac{(-1)^na_0}{( (2n+m)-m)((2n-2+m)-m)\dots 2\times ((2n+m)+m)((2n-2+m)+m)\dots(2+m))}[/tex]
(j'ai factorisé [tex](n+m)^2-m^2[/tex]).

Il vient ensuite
[tex]a_{2n}=\frac{(-1)^n a_0}{\big[2n\times(2n-2)\times\dots 2\big]\big[(2n+2m)(2n+2m-2)\dots(2m+2)\big]}.[/tex]

On utilise ensuite les astuces classiques, à savoir qu'on écrit
[tex]\big[2n\times(2n-2)\times\dots 2\big]=2^n n![/tex]
et
[tex]\big[(2n+2m)(2n+2m-2)\dots(2m+2)\big]=2^{n}(n+m)! / m![/tex]

Sauf erreur, ca te donne toutes les solutions, et Jm en est une en choisissant le bon coefficient a0.

Bon, maintenant, l'histoire des fonctions de Bessel, c'est à mon avis très compliqué. Je crois qu'elles ont été considéré par un des Bernoulli deux siècles avant Bessel pour trouver des courbes vérifiant des conditions particulières. Bessel en a fait une étude systématique. Le choix d'un coefficient a_0 compliqué devait être dû à des contraintes de conditions initiales....

Fred.