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dani94

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fonction borélienne [Résolu]

bonjour,

je ne comprend pas bien la définition de fonction borélienne et je ne sais pas comment montrer que les fonctions suivantes de R dans R sont boréliennes:
1. f est monotone
2. f est la partie entière de x
3.f est la fonction indicatrice sur mathbb{Q}
4. f(x) = x+ 1 si x>0 et -x si x<0
5.f est dérivable et sa dérivée aussi
merci de votre aide.....

Fred

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Re : fonction borélienne [Résolu]

Bonjour Dani94,

  Evidemment, la définition d'une fonction borélienne, tu l'as dans ton cours, je ne t'apprendrai rien si je te la recite. Voici plutôt des méthodes pour faire ceci :

a. pour démontrer qu'une fonction est borélienne, il suffit de démontrer que l'image réciproque d'un ouvert est un borélien. On peut même simplement demander à ce que l'image réciproque d'un intervalle soit un borélien, ou même simplement que l'image réciproque de tout intervalle ]-oo,a[ est un borélien. En particulier, tout fonction continue est borélienne, et même toute fonction ayant juste un nombre fini de points de discontinuités est borélienne - je ne sais pas si c'est explicitement dans ton cours(...)

b. Si les (f_n) sont toutes des fonctions boréliennes, et si les (f_n) convergent simplement vers une fonction f, alors f est borélienne.

Voici maintenant pour tes exos :

1. On peut utiliser des propriétés des fonctions monotones. Le plus facile est de montrer que, si
f est monotone, alors [tex]f^{-1}(]-\infty,a[)[/tex] est un convexe pour tout ouvert a.
En particulier, c'est un intervalle donc un borélien, et f est borélienne.

2. La partie entière est une fonction monotone. On est dans un cas particulier de la première question.

3. Soit A un borélien. Alors f^{-1}(A) est égal ou à l'ensemble vide (si A est l'ensemble vide), à {0}, à {1} ou à {0,1}. Ces quatre ensembles sont des boréliens, et donc f est mesurable.

4. f est continue, sauf en 0, donc f est borélienne (cf le rappel). Sur cet exemple, il est facile de calculer l'image réciproque d'un intervalle ouvert, tu peux le faire à guise d'entrainement.

5. f est dérivable, donc continue, donc borélienne.
Pour f', tu peux l'écrire comme la limite des fonction f_n suivantes :
[tex]f_n(x)=\frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}[/tex]
Comme les fonction f_n sont mesurable, leur limite f' est mesurable!

Voila, si tu as des questions supplémentaires...

Fred.

dani94

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Re : fonction borélienne [Résolu]

Merci pour ces pistes! Elles m'ont été d'une grande aide!