serie entière [Résolu]

tibo · 09-01-2009 20:38:52

bonjour et bonne année à tous

Ca fait un bail que je suis pas venu, j'avais des problèmes de conection internet et puis avec l'approche des concours, je n'ai plus le temps de faire tous ce que je voudrais faire.

Donc je reviens avec un exo sur les séries entière:

Montrer que [tex]f(x)=e^{e^x}[/tex] est développable en série entière?

C'était la première question d'un concours mines-ponds d'il y a quelques années.

Je connais le développement de exponentielle:
[tex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \qquad pour\ x\in \mathbb{R}[/tex]
mais le problème c'est qu'on a pas le droit de composer les séries entières.

J'ai pensé à intégrer et à dériver pour essayer d'obtenir un produit de Cauchy, mais sans succes.

pouvez-vous me donner une piste de recherche?

Fred · 09-01-2009 22:53:46

Bonsoir tibo, et bon retour ici!

Un réflexe à avoir quand on cherche à prouver qu'une fonction est DSE et qu'on n'y arrive pas par des techniques classiques : essayer de former une équation différentielle.
Ici, on a
[tex]f'(x)=e^x e^{e^x}=e^x f(x)[/tex]
d'où [tex]f'(x)-e^x f(x)=0[/tex]
On cherche donc les solutions de l'équation différentielle y'-exp(x)y=0.
On sait qu'elles sont proportionnelles à la fonction f et on étudie celles qui sont développables en séries entières. Pour cela, on utilise la technique classique, sauf qu'en plus on doit multiplier deux DSE. On obtient une formule de récurrence pour a_n, si [tex]y(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n[/tex].
On ne cherche pas à expliciter a_n, ca ne sert à rien, il suffit juste de le majorer.
Après, tout dépend si on t'impose un rayon de convergence minimal.
Sinon, ca doit être assez facile de prouve que le [tex]|a_n|\leq |a_0|2^n[/tex] ou quelque chose comme cela.

C'est vraiment la toute première question d'un sujet Mines-Pont? Parce qu'il y a d'autres moyens de s'y prendre en utilisant d'autres résultats hors programme des prépas.
Si oui, c'est vraiment vache!

Fred.

tibo · 09-01-2009 23:31:15

D'après mon prof, c'est bel et bien la première question et selon lui celui qui se disait "je ne passerai pas à la seconde question sans avoir fait la première" y passait les 4h.

Merci pour la piste. Je cherche et je te dis ce que je trouve.

Fred · 09-01-2009 23:32:25

Je suis plutôt d'accord avec ton prof. Le candidat moyen de Mines-Pont ne peut pas répondre à cette question sans indication.

Fred.

cléopatre · 10-01-2009 18:46:28

Bonjour à tous !

Cette question m'a attiré.
Ce n'est pas si vache que cela. Cette question fait partie intégrante de notre cours et la méthode qu'a donné Fred est dans mon cours sauf pour la partie : on est pas obligé de calculer a_n. Cependant, il me semble que Fred n'a pas prouver l'unicité. Pour cela il faudra utilisé le théorème de Cauchy-Lipschitz.

C'est un exercice pas si simple car dans la rédaction il y a pas mal de choses à ne pas oublier mais qui fait partie des classiques. Donc je pense qu'il faut savoir le maitriser.

Bises de Cléo

Fred · 10-01-2009 19:52:42

Salut,

Oui, mais en première question d'un problème, c'est vraiment vache :

1. Il faut penser à introduire l'équation différentielle. C'est vrai que c'est courant pour obtenir un DSE, c'est courant, mais pas vraiment avec des exemples de cette forme.
2. L'équa diff ne ressemble pas aux équa diffs traditionnelles qu'on résoud avec des séries entières (ou pour obtenir des DSE), elle est plus difficile car on doit faire le produit de deux séries entières.
3. Ce n'est pas si facile de trouver une forme explicite pour a_n, il faut majorer |a_n| (sans indication sur la majoration à utiliser).

Alors, comme 1ère question d'un sujet d'ENS, je suis d'accord. Comme 1ère question d'un sujet Mines-Pont, ca me semble vraiment trop difficile.

Pour ce qui est de l'unicité, c'est juste une equa diff linéaire, ca va....

Fred.

cléopatre · 10-01-2009 19:57:30

D'accord, je m'incline... C'est vache pour une première question d'un sujet Mines Pont. En même temps, j'en ai jamais fait car selon mon prof c'est d'un niveau médiocre alors que pas du tout. Il nous donne des polytechniques tapés à la machine on dirait...

Bref alors si il y a une question que je comprends l'énoncé, je fonce dessus !
Un peu d'auto dérision sa fait du bien des fois...même pour les matheux, croyez moi ;)

Bises de Cléo et bonne année au fait si je ne l'ai pas déjà souhaité.

tibo · 11-01-2009 00:08:39

Bonsoir,

vous avez l'air de dire que mines-ponds c'est de la rigolade... C'est quand même un des concours les plus difficiles aprés ENS et X. Et merci de me rassurer, l'ENS... c'est ce que je veux passer...

Sinon pour ma question je bloque un peu (totalement même).
[tex]f(x)=e^{e^x}[/tex]
En fait il faut supposer que [tex]\exists (a_n)\ tel\ que\ f(x)=\sum_0^{\infty} (a_n . x^n)[/tex]?
Déja là, ça me dérange, on suppose ce qu'on doit prouver...

[tex]f'(x)=e^x.f(x)
f'(x)=\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})[/tex]

Soit l'équation différentielle:
[tex]f'(x)-e^x.f(x)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_0^{\infty} \left( \frac{x^n}{n!} \right).\sum_0^{\infty} (a_n.x^n)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_0^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{k!}.a_{n-k} \right).x^n \right)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_1^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right).x^{n-1} \right)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} x^{n-1} \left( n.a_n - \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right) \right) =0[/tex]
[tex]n.a_n - \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right)=0[/tex]
[tex]n.a_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right)[/tex]
[tex](n+1).a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-k} \right)[/tex]

Et là je fais quoi???
Je ne vois pas comment majorer (an) avec une expression pareil.
Je vais regarder les premiers termes pour essayer de voir si je ne reconnais pas une expression plus simple...

Sinon, une indication de mon prof, il y a une histoire de "suites sommables", qui ne sont plus au programme de prépa depuis quelques années. Donc il n'est pas sûr que l'exo soit faisable pour moi (enfin ma classe)

PS: tu es en MatSpé cléopatre? dans quelle école?

Dernière modification par tibo (11-01-2009 14:24:21)

Fred · 11-01-2009 23:32:59

Salut à toi,

tibo a écrit :

Bonsoir,
vous avez l'air de dire que mines-ponds c'est de la rigolade... C'est quand même un des concours les plus difficiles aprés ENS et X. Et merci de me rassurer, l'ENS... c'est ce que je veux passer...

Ce n'est pas ce que je dis, loin de là! Simplement, les ENS et Mines-Ponts, ce n'est pas du tout le même objectif. D'un côté, tu veux former des ingénieurs, parmi les plus brillants du pays, et de l'autre, tu veux former des chercheurs en mathématiques (parmi les meilleurs....du monde!).
D'un côté, tu as un concours qui veut recruter plus de 1000 personnes (je dis cela à la louche),
de l'autre, tu as une centaine de personnes qui rentrent dans les trois ens en math par an.
Que le niveau d'exigence ne soit pas le même me semble très clair. Dans un concours de l'ENS, tu dois faire appel à l' "imagination" des candidats. Poser des questions qui sortent des sentiers battus est nécessaire. Pour "Mines-Ponts", tu testes plutôt la capacité de synthèse, la rapidité d'exécution,etc...

tibo a écrit :

Sinon pour ma question je bloque un peu (totalement même).
[tex]f(x)=e^{e^x}[/tex]
En fait il faut supposer que [tex]\exists (a_n)\ tel\ que\ f(x)=\sum_0^{\infty} (a_n . x^n)[/tex]?
Déja là, ça me dérange, on suppose ce qu'on doit prouver...

Non, non, ce n'est pas ce que j'ai dit.
Tu considères l'équation différentielle y'-e^x y=0.
Tu supposes qu'elle admet une solution dse qu'on écrit comme tu le fais après...

tibo a écrit :

[tex]f'(x)=e^x.f(x)
f'(x)=\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})[/tex]
Soit l'équation différentielle:
[tex]f'(x)-e^x.f(x)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_0^{\infty} \left( \frac{x^n}{n!} \right).\sum_0^{\infty} (a_n.x^n)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_0^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{k!}.a_{n-k} \right).x^n \right)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} (n.a_n.x^{n-1})-\sum_1^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right).x^{n-1} \right)=0[/tex]
[tex]\sum_1^{\infty} x^{n-1} \left( n.a_n - \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right) \right) =0[/tex]
[tex]n.a_n - \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right)=0[/tex]
[tex]n.a_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-1-k} \right)[/tex]
[tex](n+1).a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!}.a_{n-k} \right)[/tex]
Et là je fais quoi???

Tu dis, soit [tex](a_n)[/tex] la suite définie par a_0=1 et cette relation de récurrence.
Montrons par récurrence sur n que [tex]|a_n|\leq 1[/tex]

C'est vrai pour n=0, et si c'est vrai jusqu'au rang n, alors
[tex]|a_{n+1}|\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\leq \frac{1}{n+1} e\leq 1.[/tex]

Soit y la fonction définie par [tex]y(x)=\sum_{n=0}^+\infty a_n x^n[/tex].
D'après le calcul précédent, cette série converge sur ]-1,1[, et elle est solution de l'équation différentielle. Par unicité de la solution, elle est égale à un multiple de f. Donc f est DSE en 0.

Fred.

PS : la majoration par 1 est vraiment très grossière...

tibo · 12-01-2009 00:53:37

Merci beaucoup

tibo · 12-01-2009 23:52:55

corrigé du prof, en fait, y avait beaucoup plus simple:

[tex]e^{e^x}=\sum_0^{\infty} \frac{(e^x)^n}{n!} = \sum_0^{\infty} \frac{e^{nx}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(nx)^k}{k!n!}[/tex]
et d'après le théorème de Fubini, les somme sont interchangeables:
[tex]= \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(xn)^k}{k!n!} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n^k}{k!n!} \right) x^k[/tex]

Fred · 13-01-2009 10:27:40

Ah oui, c'est beaucoup mieux!

Fred.

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