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cortomaltese

Invité

fonction avec Arctangente [Résolu]

Bonjour,
voici mon énoncé :
on considère la fonction
f(x)= (2x+1)/(x²+1) +2Arctan ((1-x)/(1+x))

1. donner le domaine de définition de f.
Là j'ai trouvé que c'était l'ensemble des réels moins (-1)

2.Indiquer pour quelles valeurs de x f est continue, puis dérivable et calculer pour ces valeurs la dérivée f' de f.
Ici je trouve qu'elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition, mais je pense que c'est pas bon...
pour la dérivée j'ai trouvé :
f'(x)= (-3x²-2x+1) / ( x²+1)²

3.Etudier les variations et construire le graphe de f
ici ce serait simple si j'étais sure des réponses du 2.

4. Montrer que la dérivée d'ordre n-1 de f est une fraction rationnelle de la forme:

f(n-1) (x) = An(x) / (x²+1)^n

pour tout entier naturel strictement supérieur à 1 et que le numérateur An est un polynôme de degré n .

Ici je pense qu'il faut se servir de la formule de Taylor Young mais je ne sais pas bien comment faire, surtout que je ne sais pas comment on peut savoir qu'une fonction est n fois dérivable, ni comment choisir l'intervalle...

voilà, merci d'avance et bon dimanche !

yoshi

Modo Ferox

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Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

Bonsoir,

Je ne suis pas totalement compétent pour te répondre, mais il semble que ta dérivée soit fausse : je l'ai donnée à intégrer ici  : http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false et le programme ne retombe pas sur ta fonction f(x), mais ça n'en est pas loin : il donne (2x+1)/(x^2+1)-Atan(x) et non ta fonction (2x+1)/(x²+1) +2Arctan ((1-x)/(1+x))

@+

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Fred

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Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

Bonsoir,

  La fonction f est obtenue en effectuant des quotients, des composées, des produits, des sommes de fonctions dérivables, et même dérivables n fois. Par les théorèmes généraux concernant les fonctions dérivables, elle est elle-même dérivable sur son ensemble de définition.

Concernant le calcul de la dérivée, je pense que tu n'as pas de problèmes pour la fraction rationnelle.
Pour l'autre partie, on part de
[tex](\arctan)'(x)=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
et de la formule pour calculer la dérivée d'une composée :
[tex](u\circ v)'(x)=v'(x)u'(v(x))[/tex]

Ici, on a u=arctan et [tex]v(x)=\frac{1-x}{1+x}[/tex]
Le calcul de v'(x) est facile :
[tex]v'(x)=\frac{-2}{(1+x)^2}[/tex]
D'où la dérivée de arctan((1-x)/(1+x)) :

[tex]\frac{-2}{(1+x)^2}\times \frac{1}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}[/tex]

Je te laisse le soin de simplifier tout cela....

Pour la question 3, on a déjà démontré un peu plus haut que la fonction est n fois dérivable sur son ensemble de définition.
Pour démontrer que la dérivée (n-1)-ième a la forme demandée, rien de plus facile qu'une bonne récurrence!
En effet, la formule est vrai pour n=2 (c'est le calcul de f').
Si la formule est vraie au rang n, alors au rang n+1 :

[tex]f^{(n)}(x)=(f^{n-1})'(x)=\left(\frac{A_n}{(x^2+1)^n}\right)'(x)[/tex]
et on utilise les formules habituelles de dérivation :
[tex]f^{(n)}(x)=\frac{A_n'(x)(x^2+1)^n-A_n(x)\times n\times 2x\times(x^2+1)^{n-1}}{(x^2+1)^{2n}}[/tex]
On simplifie par [tex](x^2+1)^{n-1}[/tex] ce qui donne la formule que tu souhaites au rang
suivant, sauf pour le degré de A_n, mais celui que tu donnes n'est certainement pas le bon
(je crois que le degré doit être 2n ou 2n-1...)

Fred.

cortomaltese

Invité

Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

pour la dérivée je trouve
f'(x)= (-4x²-2x) / (x²+1)²
mais quand je l'intègre sur le site ça ne marche pas...
merci pour l'aide !

Fred

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Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

Bonjour,

  Alors, la dérivée de (2x+1)/(x²+1) est [tex]-\frac{-2+2*x^2+2*x}{(1+x^2)^2}[/tex] ok?
La dérivée de 2 arctan((1-x)/(1+x)) est [tex]\frac{-2}{1+x^2}[/tex] ok?

On fait la somme des deux, et on trouve
[tex]-\frac{-4x^2-2x}{(1+x^2)^2}[/tex]
C'est bien le résultat que tu trouves.
Pourquoi, en intégrant, le site mentionné ne donne pas le même résultat.
Parce que regarde un peu plus haut :
La dérivée de 2arctan((1-x)/(1+x)) est la même que la dérivée de la fonction -2arctan(x).
C'est-à-dire que arctan((1-x)/(1+x))=-arctan(x)+C où C est une constante.
Evidemment, quand on cherche l'expression la plus simple d'une primitive, on prend arctan(x).

Fred.

cortomaltese

Invité

Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

Ok merci ! j'ai réussi pour la récurrence du 4., mais après pour la question 5, j'ai plus de mal.
An(x)=0 se ramène à
f(n-1) (x)=0 mais je ne sais pas comment prouver que cette équation a deux solutions réelles...

Fred

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Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

C'est quoi la question 5????

cortomaltese

Invité

Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

c'est
"Montrer que les racines de An sont réelles et distinctes"

Fred

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Re : fonction avec Arctangente [Résolu]

Bonjour,

  Il suffit effectivement de prouver que [tex]f^{(n-1)}[/tex] a au moins n racines réelles distinctes.
C'est vrai pour f' d'après le calcul effectué.
Supposons que c'est vrai pour [tex]f^{(n-1)}[/tex], et notons a1<...<an ses racines.
Par le théorème de Rolle appliqué à [tex]f^{(n-1)}[/tex] dans l'intervalle [tex]]a_i,a_{i+1}[[/tex]
[tex]f^{(n)}[/tex] s'annule en un point [tex]b_i[/tex] de l'intervalle [tex]]a_i,a_{i+1}[[/tex].
Ces racines sont distinctes, et on en obtient n-1.
Reste à trouver les deux autres. On utilise une variante du théorème de Rolle, le théorème de Rolle à l'infini.
Précisément, si g est continu sur [a,+oo[, dérivable sur ]a,+oo[ et si g(a)=lim g en +oo,
alors il existe c dans ]a,+oo[ tel que g'(c)=0.
Ici, on a [tex]f^{(n-1)}(a_n)=0[/tex] et [tex]\lim_{+\infty} f^{(n-1)}=0[/tex]
On obtient donc une racine dans l'intervalle [tex]]a_n,+oo[[/tex], différente des bi.
On peut de la même façon en obtenir une dans l'intervalle ]-oo,a1[.

Si tu veux en savoir plus sur le théorème de Rolle à l'infini, consulte
la base de données d'exercices du site.

Fred.