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tevuac

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comparaison de fonction [Résolu]

Bonjour et bonne année

[tex]f\left(x\right)=\,{\left(\ln \left(\ln x\right)\right)}^{{x}^{\ln x  }}[/tex]
[tex]g\left(x\right)=\,{\left(\ln x\right)}^{{x}^{\ln \left(\ln x\right)}}[/tex]

deux fonctions bien compliquées à comparer
La correction ( MONNIER) calcule ln( ln f(x)) et ln (ln g(x)) puis en déduit une comparaison de f(x) et g(x)

ln(ln(f(x))) = lnx lnx + ln(ln(ln(lnx)))       je l'obtiens
ln(ln(g(x)) = ln(lnx) lnx + ln(ln(lnx))      je l'obtiens

d'où ln(ln g(x)) = o( ln(lnf(x)))     je veux bien

mais après je ne comprends pas la déduction qui semble utiliser une propriété du genre
ln(g(x)) = o ( ln( f(x))  [tex]\Rightarrow[/tex]  g(x) = o(f(x)) 

merci d'avance pour toute explication

Barbichu

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Re : comparaison de fonction [Résolu]

Hello,
(toutes les limites, petits o et ~ sont considérés en +oo)

ln(lng /lnf) = ln ln g - ln ln f ~ -ln ln f (car ln(ln g) = o( ln(ln f)) )
Et -ln ln f -> -oo   (car ln ln f ~ ln*ln -> +oo)
Donc ln(lng /lnf) -> -oo
Donc ln g / ln f -> 0 (on composition de limites avec l'exp)
et donc ln g = o (ln f)

Puis ln(g /f) = ln g - ln f ~ - ln f (car ln g = o(ln f) )
Et -ln f -> -oo  (car ln ln f -> +oo et exp -> +oo, par composition)
Donc g / f -> 0 et g = o (f)

NB : Une autre façon de voir les choses est de dire que pour toutes fonctions f et g , si f -> +oo,  alors g = o(f) => e^g = o(e^f)
(exo : le démontrer)
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Barbichu

tevuac

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Re : comparaison de fonction [Résolu]

merci Barbichu,

je préfère la dernière proposition qui utilise une propriété plus générale applicable deux fois dans l'exercice
pour la démonsrtration proposée je m'inspire cependant de la première méthode:

si g= o(f)   g-f [tex]\sim[/tex]-f   comme -f tend vers - [tex]\infty[/tex]
g-f tend vers -[tex]\infty[/tex]
ce qui donne exp(g-f) tend vers 0
soit [tex]\frac{\exp \left(g\right)}{\exp \left(f\right)}[/tex] tend vers 0
c' est à dire exp(g)= o( exp(f))

Merci encore et à une autre fois

Barbichu

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Re : comparaison de fonction [Résolu]

Re, de rien,
c'est ok, il y a des petites subtilités à vérifier comme ça pour passer au log ou à l'exponentielle dans les petits o ou les équivalents. C'est bien pratique à savoir, surtout pour ne pas tomber dans le panneau. (Ensuite tu peux toujours en avoir le cœur net en retrouvant les petites démos comme celles que tu viens de faire)
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Barbichu