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#1 22-10-2005 14:20:32

sandra
Invité

[Résolu] séries numériques!!! c'est urgent réponse avant demain soir!

soit sigma de a indicé n (avec n > ou = à 1) une série convergente. On définit pour n>=0 Rn son reste d'indice n: Rn= sigma a indice k   (avec sigma alant de k=n+1 a +infini)
on pose a(n)= ((-1)^n)/n pour tout n> ou égal a 1
Soit n un entier naturel non nul. On définit la suite (In) par In=(-1)^n  intégrale (allant de 0 a 1) de (x^n)dx/(1+x)
*montrer que limite de In=0 quand n tend vers l'infini
*montrer que In=ln2 +sigma(-1)^k /k  (avec sigma allant de k=1 à n)
indication: on pourra calculer sigma(-x)^k (avec sigma allant de k=1 à n-1)
* en déduire la valeur de sigma a(n) (avec sigma allant de n=1 à +infini) puis exprimer Rn en fonction de In
*en utilisant une intégration par parties, montrer que l'on a:
In= [(-1)^n /2(n+1)] + 0(1/n²)
*en déduire la nature de la série sigma Rn (n>=0)

aidez moi s'il vous plait!!!!! entre partiel et devoir maison je suis surchargée!! merci de me répondre au plus vite

#2 23-10-2005 15:10:31

Au
Membre
Inscription : 22-10-2005
Messages : 22

Re : [Résolu] séries numériques!!! c'est urgent réponse avant demain soir!

j'aide à commencer l'exercice,
mais donner les réponses sans que tu cherches un peu n'est pas trés formateur

- [tex]valeur absolue (I_n) \leq \int_0^1x^ndx=\frac{1}{n+1}[/tex] en majorant
sur [0,1] la fraction 1/(1+x) par 1.
On en déduit que I_n tend vers 0

- [tex]\sum_{k=0}^{n-1}(-x)^k=\frac{1-(-x)^n}{1+x}[/tex] d'après la formule donnant la somme d'une suite géo,
on a donc  [tex]\sum_{k=0}^{n-1}(-x)^k=\frac{1}{1+x}-\frac{(-x)^n}{1+x}[/tex]
en intégrant de 0 à 1 l'égalité précédente on trouve exactement le résultat souhaité...

- il suffit de prendre la limite en + infini dans l'égalité qu'on a prouvé, en tenant compte de I_n tend vers 0, on trouve
[tex]\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\ln (2)[/tex]

- on intègre I_n par parties en posant u(x)=1/(1+x) et [tex]v(x)=x^n[/tex]
on trouve alors le résultat demandé en utilisant la même technique de majoration qu'à la premiere question dans l'intégrale qui reste,
on en déduit la cv de somme des r_n (critère de Riemann+ somme des a_n en gros....ou si tu es savant c'est le critère des séries alternées...)

à toi de reprendre l'exo et de mettre en place les preuves avec les indications détaillées fournies

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