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tevuac

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équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Bonjour
Je viens de redécouvrir la façon de résoudre ces équations différentielles et je butte sur plusieurs points

Par exemple, pour l'equation homogène        (xlnx)y' - y = 0
j'utilise la théorie générale et obtiens

f(x)=k exp ( ln ( lnx)) = k ln x     

ce qui ne me pose pas de problème  pour x>1 mais la deuxième partie de l'égalité n'est pas correcte sur
]0,1[.....  comment doit-on procéder?  En fait je crois que je bloque dès le calcul de la primitive de 1/(xlnx )

Ce n'est pas fini car l'équation n'était pas homogène. Le second membre est - ( 1+ lnx)/x
La correction dont je dispose propose la solution particulière f(x) = 1/x
Je peux vérifier que celle-ci  convient mais je n'arrive pas à l'obtenir par variation de la varible commme le conseille la correction

C'est fichu pour l'agrégation interne  de cette année mais je me régale. Merci à tous ceux qui m'aident et m'encouragent

tevuac

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Pour la première question , je crois que je peux m'en sortir: je garde la valeur absolue dans la deuxième partie puis je règle le problème après avec la constante... J'y suis presque ?... Je vais continuer à chercher mais pour la vie familiale je dois vraiment faire une petite pose. A bientôt

Fred (rome)

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Bonjour,

  Oui, tu as raison, pour la premiere question tu avais oublie la valeur absolue.
Pour la variation de la constante,
on cherche une solution sous la forme

[tex]f(x)=C(x)\ln(x)[/tex]
En derivant,

[tex]f'(x)=C'(x)\ln(x)+\frac{C(x)}{x}[/tex]

En mettant dans l'equation :

[tex](x\ln(x))\ln(x)C'(x)=-(1+\ln(x))/x[/tex]
soit
[tex]C'(x)=-\frac{1+\ln(x)}{x^2(\ln(x))^2}[/tex]
et ceci est de la forme u'/u^2, avec [tex]u(x)=x\ln(x)[/tex]

On integre et on trouve le resultat demande.
Apres, je ne sais pas si on te demande de resoudre l'equation sur ]1,+oo[ ou sur ]0,+oo[

Bon courage,
Fred.

tevuac

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Merci Fred

sur ]0,1 [   et sur ]1, + infini[   ( pardon yoshi)
les solutions sont donc de la forme  f(x) =K lnx + 1:x et si j'ai bien compris il n'y a pas dr raccord possible pour obtenir une solution sur ]0, +infini[ 

cordialement

Fred

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Salut,

  Si, le seul raccord possible est pour k=0.
La fonction f(x)=1/x est solution sur ]0,+oo[ tout entier.

Fred.

tevuac

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Voilà que je ne sais plus pourquoi je ne voyais pas de raccord mais, maintenant, c'est l'inverse: toute valeur de k me semble possible (en prenant la même valeur sur les deux intervalles). Est-ce bien le cas? Merci d'avance.

Fred

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Bonjour,

  Sur ]1,+oo[, une solution s'écrit y(x)=1/x+k ln(x)
  Sur ]0,1[, une solution s'écrit y(x)=1/x+c ln(x)

Pour trouver une solution valable sur R tout entier, il faut que le recollement soit continu
et dérivable en 1. La continuité ne pose aucun problème car ln(1)=0.
Pour la dérivabilité, on calcule y' sur chacun des deux intervalles, on fait tendre
x vers 1, et effectivement on trouve que ca coincide si et seulement c=k.
Donc tu as raison.

Fred.

tevuac

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Re : équation différentielle d'ordre 1 [Résolu]

Merci beaucoup et peut-être à bientôt sur un autre sujet