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#1 08-12-2008 00:41:37

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

diviseurs de n factoriel

Bonjour tout le monde,


- Les enties qui satisfont n | n! ?

- Les enties qui satisfont n² | n! ?

Merci d'avance

hajmos.

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#2 08-12-2008 07:23:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 378

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour,

Pourrais-tu à l'avenir soigner davantage la formulation de tes questions ?

D'autre part Fred s'est donné du mal pour mettre au points un "Editeur de formules mathématiques", interface simple d'emploi entre le Code LaTeX et celui qui poste sur ce Forum, accessible via le bouton "Insérer une équation".
Seule contrainte avoir Java de Sun MicroSytems d'installé sur sa machine.
Cela rendrait directement plus compréhensible les énoncés..
Le 3/12/2008, message #2 de cette discussion : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2251, je te disais d'ailleurs :

Pour la suite de tes exercices et pour les rendre plus faciles à lire, je me permets d'attirer ton attention sur :

* Le Code LaTex et le tuto que j'ai écrit et auquel tu peux accéder en cliquant sur la mention Code LaTeX,

* Le bouton "Insérer une équation" sur lequel un clic te permet d'accéder à l' "Editeur de formules mathématiques" écrit par Fred, interface graphique entre le Code laTeX et toi destinée à simplifier, faciliter cette écriture de formules mathématiques. Un tuto d'une page au format .pdf est également disponible ici : http://www.bibmath.net/forums/tutoforumeq.pdf et aussi accessible depuis l'Editeur...

Tu as écrit :

- Les entiers qui satisfont n | n! ?

Qu'est-ce cela veut dire ? "Quels sont les entiers qui... "?
Ensuite qu'est ce que représente ce symbole | ? la division (vu le sujet de la discussion) ? Dans ce cas, sans Code LaTeX, c'est  :  /...
Donc en admettant que mes suppositions soient exactes, que signifierait alors la phrase :
"Quels sont les entiers qui satisfont n/n!" ?
Qu'entends-tu en outre par "satisfont" ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 08-12-2008 07:40:43

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Le symbole | c'est divise

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#4 08-12-2008 07:43:35

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Quels sont les entiers qui satisfont n/n!" ?
Qu'entends-tu en outre par "satisfont"

L'exercice est posé de cette façon.

merci.

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#5 08-12-2008 18:13:46

Rome Antique
Invité

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour,

  Pour la premire question, j'espere que c'est une blague....
Evidemment que n divise n!, pour tous les entiers n...

Savoir si [tex]n^2[/tex] divise n est autrement plus interessant!
Cela revient a savoir si n divise 1x2x...x(n-1)
Si n se factorise en ab avec a different de b, et a et b
inferieurs ou egaux a n-1, alors c'est vrai.
Sinon, cela veut dire :
*ou bien que n est premier. Dans ce cas, cela ne marche pas.
*ou bien que n est le carre d'un nombre premier. Dans ce cas la, cela ne marche pas non plus.
Je te laisse faire le detail de ces reponses (pourquoi s'il ne se factorise pas, il est de cette forme la, pourquoi s'il est de cette forme-la, il ne convient pas).

Romulus et Remus.

#6 08-12-2008 18:20:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 378

Re : diviseurs de n factoriel

Bonsoir Rome Antique,

Et merci pour cette réponse.

Ainsi "quels sont les entiers n qui satisfont n/n! ?" signifiait "Quels sont les entiers n qui divisent n! ?"... Je me coucherai moins bête ce soir !

@+

[EDIT] Fred me (nous) fait une blague avec ce pseudo...

Dernière modification par yoshi (08-12-2008 18:38:55)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 08-12-2008 19:36:01

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour,

J'ajouterais bien le nombre 1 à la démo de fred.


++

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#8 08-12-2008 21:21:03

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour ,

Pour la première question tous les n satisfont cette condition.
pour la deuxième c'est pour n>= 6 avec les n non premiers, à verifier.

Moshaj.

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#9 10-12-2008 03:27:43

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour tout le monde,
1²=1    ,   1!=1      1 divise 1 .
2²=4    ,   2!=2      4 ne divise pas 2 .
3²=9    ,   3!=6      9 ne divise pas 6 .
4²=16   ,   4!=24     16 ne divise pas 24 .
5²=25   ,   5!=120    25 ne divise pas 120
6²=36   ,   6!=720    36 divise 720 .
7²=49   ,   7!=5040   49 ne divise pas 5040 .
8²=64   ,   8!=40320  64 divise   40320.

Yoshi ,s'il vous plait comment vous allez formuler n / n! ?
Merci.
Hajmos

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#10 10-12-2008 09:11:06

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Yoshi ou fred  comment vous allez formuler n² / n! ?
et n au cube divise n! ?

Merci.
hajmos.

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#11 10-12-2008 12:22:34

Fred (rome)
Invité

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour Hajmos,

  Je ne comprends pas bien ton probleme.
Cela n'est pas clair pour toi que n divise n!  ??????

n!=nx(n-1)x...x1=nxk ou k est un entier.

Le deuxieme probleme est plus difficile et effectivement, dans ma reponse rapide de la derniere fois, je me suis trompe.
Comme je le disais, il suffit de savoir si n divise (n-1)!
Si n est  premier, ce n'est pas possible : est-ce clair pour toi?
Si n=ab ou a et b sont distincts, n divise (n-1)! : est-ce clair pour toi?
Il reste le dernier cas, mais j'attends tes reponses pour voir si on part sur une base saine.

Fred.

#12 10-12-2008 14:21:52

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Fred ,excusez moi pour ce retard ,je crois c'est le decalage horaire (je suis au Quebec) .
quand j'ai utilisé la calculatrice j'ai constaté :
6!=720  et dans 6! il y'a le 6 et 3x2 aussi dans 8 il y'a le 8 et 4x2 tous les nombres non premiers qui sont >=6.
j'ai pensé resoudre l'equation n²=n! en utilisant les congruences mais je ne sais pas comment.
Merci encore Fred.

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#13 10-12-2008 16:30:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : diviseurs de n factoriel

Tres bien hajmos, mais tu ne dis pas si tu as compris mes premiers arguments (si n est premier, et si n=ab avec a et b different). Par ailleurs, tu es sur la bonne voie pour la suite de la demonstration.

Fred.

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#14 11-12-2008 04:43:30

hajmos
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Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

[tex]si\,n=ab\,alors\,\exists k\,\in N\,tel\,que\,n!=n.ab.k=n².k\,\Rightarrow \,que\,tout\,entier\,n\,non\,nul\,\,\geq 6\,\,produit\,de\,deux\,nombres\,premiers[/tex]

hajmos.

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#15 16-12-2008 12:26:52

ABB
Membre
Inscription : 20-07-2008
Messages : 54

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour
pour que la démonstration soit juste il faut supposer que les entiers a et b sont premiers entre eux, en vertu du résultat si a divise x et b divise x et a et b sont premiers entre eux alors ab divise x. ce résultat tombe en défaut si a et b  ne sont pas premiers entre eux. contre exemple : 6/12 et 4/12; mais 24 ne divise pas 12

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#16 20-12-2008 17:20:51

ABB
Membre
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Messages : 54

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour
je crois que mon intervention est mal comprise. Je m'explique
dire que a <n alors a divise (n-1)! et b<n alors b divise (n-1)!. mais pour conclure que ab divise (n-1)!; il faut ajouter la condition a et b sont premiers entre eux
Mais, dire que n=ab pour conclure que ab divise (n-1)!,il faut ajouter la condition a et b sont distincts.

Je vais maintenant formuler la réponse à la question: quels sont les entiers naturels n tels que n² divise  (n-1)!
remarquons que 1 répond à la question
remarquons que tous les nombres premiers ne répondent pas à la question
soit n un entier nautel supérieur strictement à 1 et non  premier
Premier cas: n est impair
alors n=ab où a et b sont premiers entre eux, car n est non premier
comme n est impair alors a>2 et b>2
ce qui implique que 2a<n . le nombre a figure deux fois dans la décomposition de  (n-1)!  alors a² divise  (n-1)!
de meme on a : b² divise  (n-1)!
comme a et b sont premiers entre eux alors a² et b² sont premiers entre eux
donc a²b² divise (n-1)! c'est -à - dire n² divise (n-1)!
Deuxième cas: n= m.2^k où k est un entier strictement supérieur à 1 et m est un nombre impair distinct de 1
On a 2m<n alors m²  divise (n-1)!
On a aussi 2.2^k<n alors 2^2k divise (n-1)!
comme m² et 2^2k sont premiers entre eux alors n² divise divise (n-1)!
il resute les deux cas: n=2^k et n=2m
On procéde de la meme manière.

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#17 23-12-2008 04:07:00

hajmos
Membre
Inscription : 01-12-2008
Messages : 24

Re : diviseurs de n factoriel

Bonjour tout le monde,

les entiers qui satisfont  [tex]{n}^{{3}_{}}[/tex] /n!

hajmos.

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