Connexité par arcs [Résolu]

cléopatre · 06-12-2008 15:58:10

Bonjour les bibmatheux !

J'ai une question qui me turlupine... Imaginez vous à ma place.
J'ai un matrice 3*3 inversible et j'aimerais en utilisant les valeurs propres et vecteurs propres trouver un chemin joignant ma matrice à l'identité. Ce chemin doit être dans l'ensemble des matrices 3*3 inversibles.

Et si j'ai la même chose à faire pour joindre ma matrice à - l'identité.

J'ai plusieurs matrices et le chemin doit être calculer à l'aide de la calculette numériquement donc...

Si vous voulez me faire comprendre plsu simplement la chose vous pouvez le faire part un exemple simple :
[ 1+i 2 3 ]
[ 2 1 1]
[ 5 3+i 1]

J'espere que je ne vous ai pas donné une matrice non inversible. Normalement la probalité que je vous en donne une est de 0 mais bon sait on jamais... ;)

Bises de Cléo

Roro · 06-12-2008 18:31:21

Bonjour,

J'imagine que les matrices pour lesquelles tu veux faire ces manipulations sont à coefficients complexes (en tout cas pour des matrices à coefficients réels, ce n'est pas possible car l'ensemble des matrices inversibles à coefficients réelles a exactement deux composantes connexes).
L'idée d'utiliser les valeurs propres et vecteurs propres est bonne. Une fois que tu as trigonaliser ta matrice (ce qui est toujours possible dans le corps de nombres complexes), tu dois trouver pour chacune des valeurs propres un chemin dans [tex]\mathbb C \setminus \{0\}[/tex] qui relie cette valeur propre à 1. La seule "difficulté" est que ton chemin ne passe pas par 0 (et c'est là qu'on se rend compte que ça ne marcherait pas dans le cas réel car on ne pourra jamais joindre -1 à 1 sans passer par 0 dans [tex] \mathbb R[/tex]). Dans le plan complexe c'est assez facile de "fabriquer" un tel chemin... il faut faire le "tour" de zéro...
Je te laisse terminer. N'hésite pas à reposter si tu as d'autres questions ou si j'ai répondu complètement à coté de la plaque (parce que coté "calculette uniquement" je ne vois pas trop : pour des matrices 3x3 on peut effectivement tout faire explicitement)

Roro.

cléopatre · 06-12-2008 18:37:02

Merci de m'avoir répondu...
A la main ce n'est pas possible avec les matrice que j'ai car les coefficients sont affreux.. En fait je me suis rendu compte que je savais faire ce que tu m'as dit mais le problème c'est qu'il faut que je donne un chemin.
Mais en réalité, qu'est ce qu'un chemin ? Un ensemble de matrice ? Que dois je donné en fait ?
Pck la la chose à faire est :
-soit e1, e2, e3 les trois vecteur propres et soit E la matrice associé
-D=E^-1*M*E = matrice diagonale et donc j'obtiens une matrice diagonale
- après je peux résoudre D*X=Id et j'ai gagné

Mais quel est mon chemin...je ne sais pas.

Bises de Cléo

Roro · 06-12-2008 19:08:19

Un chemin tel que tu le décris est la donnée d'une application continue f d'un intervalle de [tex]\mathbb R[/tex], disons [0,1], à valeurs dans l'ensemble [tex]Gl_{3}(\mathbb C)[/tex].
Une fois que tu as diagonaliser ta matrice M, il te suffit de trouver un chemin f tel que f(0)=D et f(1)=Id. Le chemin qui passera de M à Id sera alors donné par [tex]g:t\mapsto E.f(t).E^{-1}[/tex].
Comme f est un chemin entre deux matrices diagonales, en fait on va chercher une application f à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales (et inversibles bien entendu). Autrement dit, la première étape consiste à trouver, pour tout complexe r non nul, une application [tex]h_r[/tex] continue de [0,1] dans [tex]\mathbb C\setminus \{0\}[/tex] telle que [tex]h_r(0)=r[/tex] et [tex]h_r(1)=1[/tex]. Tu l'appliqueras ensuite en prenant pour r chacune de tes valeurs propres.
Il y a plusieurs possibilités pour construire [tex]h_r[/tex] :
- Si r n'est pas un réel négatif, le plus simple est d'utiliser [tex]h_r(t) = (1-t)r+t[/tex]
- Si r est un réel négatif (l'application h précédent ne marche plus car elle s'annule), il faut contourner 0 par exemple en posant [tex]h_r(t) = r e^{2\pi i t}[/tex] pour t entre 0 et 1/2, puis [tex]h_r(t)=2r(t-1)+2t-1[/tex] pour t entre 1/2 et 1.

Je résume :
1- Tu diagonalises ta matrice [tex]M=E.D.E^{-1}[/tex], je note r1, r2 et r3 les trois valeurs propres.
2- Tu considères l'application [tex]f:t\mapsto Diag(h_{r1}(t), h_{r2}(t),h_{r3}(t))[/tex] qui "transforme" D en Id
3- Tu utilises [tex]g:t\mapsto E.f(t).E^{-1}[/tex] qui "transforme" M en Id.

Est ce que ça t'éclaire plus ?

Roro.

Dernière modification par Roro (06-12-2008 19:13:03)

cléopatre · 06-12-2008 19:45:36

Merci encore Roro !

Roro a écrit :

[tex]f:t\mapsto Diag(h_{r1}(t), h_{r2}(t),h_{r3}(t))[/tex]

Je pensais que prendre : [tex]f:t\mapsto Diag( {1}/{r1}, {1}/{r2},{1}/{r3},)[/tex] suffisait...
Mais en fait non pas du tout je comprends pourquoi tu différencie le cas réels négatifs. Par contre je ne compreds pas comment tu t'occupes des réels. La partie complexe, j'ai compris..

La par exemple j'ai la matrice [[4.925, 7.55, -1.825], [-.4875, -1.525, .4875], [4.5, 13.4, -1.4]] et on me demande de trouver un chemin dans R vers -Id et Id. Un des deux cas est impossible j'imagine puisque on devra forcément passer vers 0. Le cas possible se détermine t il par le signe du déterminant ?

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (06-12-2008 19:51:15)

Fred · 06-12-2008 19:52:02

Salut,

Si tu es sure qu'on peut aller vers Id ou -Id, alors oui, le signe du déterminant te dira vers où aller.
Mais ce n'est pas toujours possible d'aller vers Id ou -Id. Si ta matrice est diagonalisable :
*si elle a trois valeurs propres positives, tu pourras aller à Id.
*si elle a deux valeurs propres positives, une négative, tu pourras aller à diag(1,1,-1)
*si elle a une valeur propre positive, et deux négatives, tu pourras aller à diag(1,-1,-1)
*si elle a trois valeurs propres négatives, tu pourras aller à diag(-1,-1,-1).

Fred.

cléopatre · 06-12-2008 20:00:03

Oui j'ai tout compris. D'ailleurs j'ai aussi compris ce qu'il m'a dit Roro. Merci à vous deux. Vous m'avez mis les idées en place.

Roro le cas négatif, tu l'a traité dans le sens où on contourne le 0 en faisant un demi cercle puis une droite...On se comprend ;)

Bises à vous deux et merci encore.

Dernière modification par cléopatre (06-12-2008 20:13:04)

cléopatre · 06-12-2008 22:05:17

Oyé oyé, le moment est crucial, l'imcomprehension est totale. Je suis en train de craquer mes chers camarades ! (lol)

Messieurs, j'ai encore un problème. Le professeur affirme que l'on peut trouver un chemin de la matrice diagonale ( -9,1,-1 ) l'Id. Il nous demande d'ailleurs d'écrire la matrice diagonale comme produit de matrice symétrique positive et matrice orthogonale...

Enfin la question suivante nous amène à trouver un chemin de l'Id à une matrice orthogonale

Je vous avoues je n'y comprends plus rien ;)

Bisous bisous et bisous !

Dernière modification par cléopatre (06-12-2008 22:05:43)

Fred · 06-12-2008 22:59:59

Salut,

Pardon, c'est moi qui ai buggué!
Par exemple, tu peux aller, en dimension 2, de -Id à Id en considérant que -Id est une rotation d'angle Pi et Id une rotation d'angle 0. Le chemin consiste à prendre des rotations d'angle ce qu'il faut entre 0 et Pi.

En dimension 3, ta matrice orthogonale sera sans doute celle d'une rotation dans l'espace, et tu peux faire la même chose....

Fred.

Roro · 06-12-2008 23:03:14

Bonsoir,

Ne mélangeons pas tout... maintenant il semble que tu aies à faire à des matrices réelles. Je vais donc commencer par compléter un peu la réponse de Fred sur le sujet :
Comme je le disais dans mon premier message, l'ensemble [tex] Gl_n(\mathbb R)[/tex] a exactement deux composantes connexes, et celles-ci sont représentées par le signe du déterminant. Ainsi, on peut trouver des chemins entre toutes les matrices inversibles à coefficients réels ayant un déterminant de même signe (en particulier si det(M)>0 alors on peut trouver un chemin de M vers Id). Ce résultat est théorique et ne donne pas la façon de construire le chemin. En pratique ce n'est pas très compliqué. Je vais par exemple construire un chemin allant de la matrice Id vers la matrice Diag(-1,-1,1) :
[tex] f(t) = \begin{pmatrix} 1-2t & -2t & 0\\ 2t & 1-2t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] si [tex]t\in [0,1/2][/tex]
[tex] f(t) = \begin{pmatrix} 1-2t & -2(t-1) & 0\\ 2(t-1) & 1-2t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] si [tex]t\in [1/2,1][/tex]
Pour que ce chemin soit admissible, il faut juste vérifier qu'il est bien continu (en particulier en t=1/2) et que toutes les matrices images sont inversibles...

Pour en revenir au dernier message de cléopatre, tu pourrais faire un peu comme dans l'exemple ci-dessus pour trouver un chemin entre Diag(-9,1,-1) et Id (ce qui est possible puisque ces deux matrices ont un déterminant de même signe). Ceci étant dit, si ton professeur te propose de décomposer la matrice en un produit SxO avec S symétrique positive et O orthogonale, c'est qu'il y a peut être une façon assez générale de construire un chemin pour les matrices orthogonales (à déterminant +1) vers Id... mais je ne vois pas trop...

Pour terminer, si tu connais un chemin de O vers Id, alors tu auras directement un chemin de SxO vers SxId=S. Puisque S est symétrique (réelle) positive elle est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont positives, donc tu pourras facilement construire un chemin de S vers Id...

Bon courage,
Roro.

cléopatre · 06-12-2008 23:10:41

C'est bizarre pck dans ton exemple tu as été amené a créer une comme de matrice antisymétrique qui est d'ailleurs ortogonale mesemble t il... Enfin, c'est une remarque sans bcp de réflexion il est tard maintenant...

Je te remercie beaucoup, bonne nuit.

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