Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hajmos

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Arithmetique [Résolu]

-  Les nombres  (2 puissance 445 ) +7 et  15 sont ils premiers deux à deux ?
Réponse :
-    7  est congru à 7 modulo 15
-    
-      2 puissance 4 est congru à 1 modulo 15
-      2 puissance 445 = 2*((2 puissance 4) puissance 41)
-     (2 puissance 4) puissance 41  est congru  1  modulo 15
-    Donc 2 puissance 445 est congru  2*1  modulo 15
-    (2 puissance 445 ) +   7 est congru à 2+7 modulo 15
-    (2 puissance 445 ) +  7 est congru à 9  modulo 15
-    Posons X=2 puissance 445 +  7
-    Il existe k appartient à Z tel que :
X-9=15k équivalent X=3(3k+5) ce qui implique que (2 puissance 445 )+7  et  15 sont ils premiers deux à deux .

Est-ce que c’est correcte.

Et merci.
Hajmos.

Fred

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Re : Arithmetique [Résolu]

Salut,

  Je n'ai pas bien compris la fin de ton message, puisque tu termines par "sont-ils premiers deux à deux".
Ce que tu as fait est correct, sauf eventuellement la fin.
Tu as prouvé que [tex]2^{445}+7=9k+15[/tex]. Or, 3 divise 9k+15 : 3 divise 15 et 3 divise 9k+15, donc 3 est le pgcd de [tex]2^{445}+7[/tex] et 15.

Fred.

[Edit Fred : Désolé, je n'avais pas vu que ce message faisait doublon].

hajmos

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Re : Arithmetique [Résolu]

Salut.
il s'agit d'une erreur
'ne sont pqs premiers deux à deux' au lieu de  'sont-ils premiers deux à deux'

haj,os.