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#1 27-10-2008 09:31:23

aurel
Invité

aire et longueur d'arc

Bonjour,
je n'arrive pas à faire cet exercice:

Soient a,b>0 on considère le domaine
[tex]D=\left{ (x,y) \in\,\mathbb{R^2},\, \frac{x^2}{a^2}\,+\,\frac{y^2}{b^2}\,\le\,1,\, xy \,>\, 0\right}[/tex]

1) Représentez graphiquement le domaine D, dans un axe orthonormé direct

Pour cette question je pense avoir trouver

2) Calculez son périmètre

Pour le périmètre je ne vois pas comment le calculer
3) Calculez son aire
Pour l'aire j'ai penser remplacer x par rcos(t) et y par rsin(t) et en fait j'ai calculé 2 fois l'intégrale compris entre 0 et Pi/2 et r compris entre 0 et 1 je trouve 0 donc ce n'est pas correct je pense avoir un pb de bornes m
merci de m'aider

[EDIT]Post modifié via le langage LaTeX (Aide disponible en cliquant sur la mention Code LaTeX quand on écrit un message). ;-)
Yoshi - Modérateur

#2 27-10-2008 11:52:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : aire et longueur d'arc

Bonjour aurel,

Si je remplace dans la formule donnée <= 1, par  = 1, j'ai l'équation d'une ellipse si [tex]a \not = b[/tex], d'un cercle dans le cas contraire...
Avec <=1, il s'agit de l'intérieur, frontière comprise et xy >0 entraîne x et y du même signe (1er et 3e quadrants), mais demi-grand axe et demi petit axe exclus (dans le cas de l'ellipse).

Périmètre du Domaine :
Deux quarts de courbe, soit une moitié. puisque les portions de droite correspondant à x = 0 et y = 0 sont exclues
Ellipse complète :
- Valeur approchée : [tex]2\Pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]
-Valeur exacte : http://culturesciencesphysique.ens-lyon … lipse.html

Aire de l'ellipse.
Les coordonnées polaires d'un point quelconque de ta courbe ne sont pas r cos(t) et r sin(t), mais bien plutôt
a cos(t) et b sin(t).

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 27-10-2008 14:58:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : aire et longueur d'arc

Bonjour,

  Pour l'aire, il faut effectivement faire un changement de variables du type [tex]x=ar\times\cos(t)[/tex] et [tex]y=br\times\sin(t)[/tex]. Son jacobien fait [tex]abr[/tex], et l'aire vaut dont

[tex]2\int_{r=0}^1\int_{\theta=0}^{\pi/2} 1.ab rdrd\theta.[/tex]

Avec cela, tu devrais trouver sans problèmes [tex]\frac{\pi ab}{2}[/tex].

Pour le périmètre de l'ellipse, il n'existe pas de formule autre qu'une formule intégrale....

Fred.

Hors ligne

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