la famille ( fn de R dans R | fn(x) = sin(x^n)) est libre [Résolu]

tevuac · 18-10-2008 22:48:33

Bonsoir
Toujours dans le monier, pour montrer que la famille ci-dessus est libre
on considère [tex] \sum_1^n a_i sin (x^i) = 0 [/tex]
on la dérive pour tout x de R, [tex] \sum_1^n i a_i x^(^i-1) cos x^i = 0 [/tex]
puis je ne comprends pas la fin , la correction considère le plus petit itel que ai non nul puis travaille avec un équivalent ?
Merci à celui qui pourra m'éclairer

Excusez moi pour la présentation, je vais essayer de me mettre au code Latex car j'ai beaucoup de questions à poser.
Un petit conseil pour les débuts serait aussi le bienvenu ( l'essai ci-dessus n'est pas concluant: impossible de placer l'exposant correctement)

Dernière modification par tevuac (19-10-2008 09:00:45)

Fred · 19-10-2008 08:51:28

Salut,

En 0, on a cos(x^i)=1+o(1). Soit p le plus petit i, s'il existe, tel que ai est non nul.
Alors, pour tout [tex]i\geq p[/tex], on a [tex]a_i x^{i-1}\cos(x^i)=a_i x^{i-1}+o(x^{i-1})[/tex].
Ainsi, en tenant compte de l'ordre des équivalents,
[tex]\sum_{i=p}^N a_i x^{i-1}\cos(x^i)=a_px^{p-1}+o(x^{p-1})=0[/tex]
Par unicité des développements limités, [tex]a_p=0[/tex], ce qui est une contradiction.

Fred.

tevuac · 19-10-2008 09:10:02

merci pour cette réponse, j'ai encore trop de lacunes pour bien la comprendre mais cela va venir (l'ordre des équivalents: je travaille cela aujourdh'hui et je reviens ce soir) Bon dimanche

Fred · 19-10-2008 09:36:05

Cela veut juste dire que je tronque les dls à o(x^{p-1}).

yoshi · 19-10-2008 11:33:08

Bonjour,

Juste une réponse sur la forme...
Cette présentation te convient-elle mieux ?
[tex] \sum\limits_{i=1}^n i a_i x^{i-1}\,cos(x^i) = 0 [/tex]

Si oui, voici le code : \sum\limits_{i=1}^n i a_i x^{i-1}\,cos(x^i) = 0

Commentaires :
* \limits : oblige le i=1 et le n à se mettre en "position classique"
* n^{i-1} les accolades indiquent que l'exposant est compris entre elles (cas de l'exposant de plus d'un caractère alphanumérique). Le problème est identique pour les chapeaux des angles, les flèches des vecteurs.
Je l'ai expliqué ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943
* Le \, est juste là pour unsérer un petit espace pour aérer la formule et emêcher que le COS touche l'exposant. Un espace plus grand :\;

Pour en savoir (beaucoup) plus :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Quoi d'autre ? N'hésite pas !

@+

tevuac · 19-10-2008 11:42:50

mais qu'est-ce qui empêche de faire le même raisonnement avec les sinus ( pourquoi dériver?)
Je dois commettre une grosse erreur. j'ai encore beaucoup de progrès à faire!
on n'a pas [tex] \sum_p^na_i sin(x^i) = a_p x^p .... [/tex]
ce qui permettrait de conclure de la même façon

cléopatre · 19-10-2008 11:46:03

Bonjour !

Je te conseille d'utiliser l'unicité du DL, ceux qui te permettras de conclure

[tex] \sum_p^na_i sin(x^i) =0 [/tex] donc [tex] a_p x^p +... =0[/tex]
Par unicité du Dl tu obtient ap =0. Tu continues sur les autres ordres.... et tu btiendras bien tous les ai nuls.

Bises de Cléo

tevuac · 19-10-2008 16:46:33

Merci yoshi pour les explications concernant le code Latex
Cleopâtre,merci pour tes explications mais n'y a-til pas une erreur quand on utilise les dls avec les sinus? pourquoi la correction du Monier passe-t-elle par la dérivation?

cléopatre · 19-10-2008 17:20:57

Je ne vois pas d'où vient ton soupçon d'erreur sur ma méthode ;)

Après ton premier DL tu aura un seul terme au degrès p (le plus petit) donc comme x différent de 0 tu aura ap = 0. Tu recommence a faire le DL et tu obtiendra ap+1=0.
Jusqu'a an=0... Je vais être honnête, je ne l'ai pas écrit sur feuille mais bon cela marche bien. Si il y a une erreur je fais confiance pour que l'on vienne protester ;)

Bises de Cléo

tevuac · 19-10-2008 17:33:14

comme je viens de l'expliquer, je travaille sur le monier et m'étonne de la solution proposée mais effectivement pour ma part je ne vois pas d'erreur dans ton raisonnement, Cléopatre .Je termine cependant plus simplement car j'avais supposé l'existence d'un ai non nul et choisi ap non nul avec p le plus petit possible.Il y a donc contradiction et par conséquent tous les ai sont nuls.
Merci et peut-être à bientôt

Dernière modification par tevuac (19-10-2008 17:35:35)

Fred · 19-10-2008 20:38:00

Salut,

Oui, oui, je confirme, la méthode de Cléopatre convenablement écrite fonctionne bien.
Tu sais, il faut apprendre à se méfier des livres et des exercices corrigés.
Les Monier sont de bons livres, qui contiennent beaucoup d'exercices.
Inévitablement, il y a de ci, de la, une petite erreur dans le cours,
ou des exos dont le corrigé n'est pas le meilleur.

Fred.

tevuac · 19-10-2008 21:24:09

Bonsoir et merci pour toutes ces explications

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#1 18-10-2008 22:48:33

la famille ( fn de R dans R | fn(x) = sin(x^n)) est libre [Résolu]

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#7 19-10-2008 11:46:03

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#8 19-10-2008 16:46:33

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#9 19-10-2008 17:20:57

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#10 19-10-2008 17:33:14

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#11 19-10-2008 20:38:00

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#12 19-10-2008 21:24:09

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