Primitive d'une fonction rationnelle + changement de variable [Résolu]

tevuac · 14-10-2008 12:34:40

Bonjour,
Dans le monier, j'ai trouvé l'exercice
calculer la primitive de (x²-x+1)/(x²+4x+5)²
la correction propose le changement de variable u =x-2
je ne sais pas pourquoi ( je remarque que x-2 apparaît dans la décomposition canonique de x²+4x+5 mais cela ne m'éclaire pas vraiment.)
D'autre part je n'arrive pas à effectuer le travail ni faire apparaître la réponse proposée
" 4 Arctan(x+2) + (6x+17)/(2(x²+4x+5)+C"
merci à celui qui prendra un moment pour me dépanner

yoshi · 14-10-2008 13:24:34

Salut,

Là, je vais marcher sur des oeufs...
Il me semble que le changement de variable est plutôt x = u - 2 et u =x + 2.
D'autre part, et qui vient à l'appui de la thèse de la faute de frappe, (x-2) n'apparaît pas dans la décomposition canonique de x²+4x+5, mais c'est x+2

En appliquant ce changement de variable et en remarquant que dx = du, on obtient :
[tex]\int\,\frac{u^2\,-5u\,+\,7}{(u^2\,+\,1)^2}\,du[/tex]
dont une primitive est (d'après le calculateur Wolfram et le formulaire de Fred):
[tex]\frac{6u\,+\,5}{2(u^2\,+\,1)}\,+4\arctan(u)[/tex]

Or, il se trouve que :
[tex]\int\,\frac{1}{u^2+1}\,du\,=\,\arctan(u)[/tex]

Et avec u = x+2, on retombe bien sur Atan(x+2)

Voir donc le formulaire déjà cité par Fred dans ton précédent post...

En espérant avoir pu te mettre sur la voie

@+

tevuac · 14-10-2008 16:23:17

Merci yoshi, pour ce coup de pouce efficace:j'ai enfin trouvé la réponse du monier en fait je n'appliquais pas la méthode classique jusqu'à son terme
Elle se termine par le calcul de I2 la primitive de 1/( 1+u²)² qui s'obtient en cherchant à faire une intégration par partie pour I1 la primitive de ( 1+u²) ( on oublie ici Arctan).
L'ensemble est un peu long mais je n'ai pas plus court.

yoshi · 14-10-2008 17:39:20

Re,

Qu'entends-tu par "oublier arctan" ?
En m'aidant du formulaire de Fred, je fais :
[tex]\int\,\frac{u^2-u+7}{u^2+1)^2}\,du\,=\,\int\,\left(\frac{u^2+1}{(u^2+1)^2}\,-\,\frac{5u-6}{(u^2+1)^2}\right)\,du\,=\,\int\,\frac{1}{1+u^2}\,du\,-\,\int\,\frac{5u-6}{(u^2+1)^2}\,du[/tex]

Soit :
[tex]\int\,\frac{u^2-u+7}{u^2+1)^2}\,du\,=\,arctan(u)\,-\,{5\over 2}\int\,\frac{2u}{(u^2+1)^2}\,du\,+\,\int\,\frac{6}{(u^2+1)^2}\,du\,=\,arctan(u)\,+\,\frac{5}{2(x^2+1)}\,+\,\frac{3u}{u^2+1}\,+\,3arctan(u)[/tex]

Ce qui donne bien :
[tex]4arctan(u)\,+\,\frac{6u+5}{2(u^2+1)}[/tex]

@+

tevuac · 15-10-2008 06:46:27

c'est pour la primitive de 6/(u²+1)² pour laquelle je n'avais pas l'intention d'utiliser une formule toute faite
merci encore pour ton aide

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#1 14-10-2008 12:34:40

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