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bouhlel007

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fonction lipschitzienne [Résolu]

bonjours a tout le monde ,j ai un exercice sur les fonctions lipschitziennes que je sais meme pas par ou commencer
et j aimerais bien avoir une reponse

soit omega un ouvert de R^n et f qui va de omega a R^m  une fonction localement lipschitzienne sur omega montrer que f est lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de omega
merci

Fred

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Re : fonction lipschitzienne [Résolu]

Salut,

  C'est (relativement) simple si on si prend bien...
Supposons que f n'est pas lipschitzienne sur K.
Niant la définition, pour tout entier n, on obtient deux éléments x_n et y_n
de K tels que :
[tex]\|f(x_n)-f(y_n)\|\geq n\|x_n-y_n\|.[/tex]

Quitte à extraire (je te laisse justifier précisément, il faut faire deux extractions successives),
on peut supposer, puisque K est compact, que (x_n) converge vers x et (y_n) vers y.
Puisque f est continue (car localement lipschitzienne), on obtient si x est différent de y
que ||f(x)-f(y)|| vaut +oo, ce qui bien entendu absurde.
On a donc forcément x=y, mais alors on utilise le fait que f est localement lipschitzienne en x pour obtenir une contradiction....

A quelle occasion cet exercice t'a été posé? (c'est pour la base de données d'exercices du site).

Fred.

bouhlel007

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Re : fonction lipschitzienne [Résolu]

merci c est note
c etait un exercice d une feuille de revesion en geometrie differentielle