Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 18-08-2008 12:30:55

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,


J'aime à plonger dans des sites d'énigmes et je dois dire que je butte depuis un certain temps sur l'une d'elles.

Cependant (j'attendais initialement d'avoir trouver pour vous la poser), elle peut j'en suis sur donner du grain à moudre à certains de vos esprits les plus tordus^^


Je modifie intentionnellement la syntaxe de l'énoncé afin de ne pas spolier le site en question.


Soit un triangle équilatéral de 273m de coté. Trouver le point (a priori il n'y en a qu'un), strictement à l'intérieur du triangle, tel que les distances de ce point aux 3 sommets du triangle soit toutes les 3 strictement entières.

Donner les 3 distances définissant ce point (par triangulation, il sera aisé de le retrouver)


J'ai pour ma part essayé de me projeter dans un repère cartésien ou cylindrique, sans succès...


Même si je n'ai pas la réponse pour l'instant, il me sera facile de vérifier vos réponses, n'hésitez pas à proposer vos solutions et surtout la méthode de résolution (programme informatique essayant toutes les combinaisons, démonstration mathématique plus ou moins fine...)


Bon après-midi.


Galdinx

Hors ligne

#2 19-08-2008 07:37:35

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Tu me poses un problème et voici pourquoi...
Je commence par tracer un repère orthonormé [tex](O,\vec i,\vec j)[/tex].
Dans ce repère je place les points [tex]A({273 \over 2}\,;\,{{273 \sqrt 3} \over 2})[/tex] et [tex]B({-}{273\over 2}\,;\,{{273 \sqrt 3}\over 2})[/tex].
Le triangle OAB ainsi créé est bien équilatéral, d'accord ?

Maintenant je place un point M(a ; b) à l'intérieur du triangle et j'appelle H, I, K les pieds respectifs des perpendiculaires abaissées de M sur [OA], [AB] et [BO].
Si les distances de ce point aux 3 sommets du triangle sont toutes les 3 strictement entières, alors la longueur MI doit, elle en particulier, être entière.
Je dirais que c'est impossible. En effet :
[tex]MI = {{273 \sqrt 3} \over 2}\,-\,b\,=\,\frac{273\sqrt 3\,-\,2b}{2}[/tex]
Et je ne vois donc pas quelle valeur donner à b pour virer la racine de 3...

Par contre l'impossibilité tombe si je modifie ainsi ton énoncé ainsi

Trouver le point (a priori il n'y en a qu'un), strictement à l'intérieur du triangle, tel que les carrés des distances de ce point aux 3 sommets du triangle soit toutes les 3 strictement entières.

b est du type [tex]\frac{k\sqrt 3}{2}[/tex], où k est un entier tel que [tex]k\,\in\,]0\,;\,273[[/tex].

D'autre part, vu les 3 axes de symétrie du triangle, s'il n'y a qu'une solution, elle est forcément à l'intersection des 3 axes...
Or, [tex]\frac{273\sqrt 3}{3}[/tex] n'est pas entier...

Vérification de l'hypothèse sur la forme de b pour avoir MI² entier...
[tex]MI^2=(\frac{273\sqrt 3}{2}-b)^2\,=\,\frac{223587+4b^2-1092b\sqrt3}{4}=\,\frac{223587+3k^2-1638k}{4}[/tex]

En Python :

from math import sqrt
for k in range(0,273):
    d = (223587+3*k**2-1638*k)/4.0
    if d == int(d):
        print k,d,sqrt(d)

Je teste si MI² (ici d) est un entier, et j'affiche la valeur de k, MI² et MI, et je constate que MI n'est jamais entier...

Je poursuis maintenant mes calculs, pour MH² et MK²...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 19-08-2008 11:30:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,
Je pose  [tex]M(x\,;\,b)[/tex] soit encore, avec la notation [tex]b\,=\,\frac{k\sqrt 3}{2}[/tex], [tex]M(x\,;\,\frac{k\sqrt 3}{2})[/tex]
Avec les carrés entiers, pour k de 0 à 273, pour que  m reste à l'intérieur du triangle, x variant de 0 à k/2 (par pas de 1), j'ai 1225 solutions.
Considérant que 35 d'entre elles sont sur l'axe des y, compte tenu de la symétrie par rapport à l'axe y'y, j'ai donc un total de 2415 positions donnant les carrés des distances entiers et aucune ne donnant les 3 distances entières : jamais pour MI, ainsi que je l'ai dit, mais aucune non plus pour MH et MK..

A te lire


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 19-08-2008 11:50:53

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Hello tout le monde,
je trouve deux solutions au problème (à permutation près des sommets) : (65, 208, 247) et (120, 153, 237).
Il m'a quand même fallu programmer pour parvenir à ces solutions, je me demande s'il existe une méthode plus "clean".
Est-ce que tu peux vérifier mon résultat galdinx ? Si c'est ok je donnerais mon approche.
++


Barbichu

Hors ligne

#5 19-08-2008 11:58:31

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

yoshi a écrit :

Je commence par tracer un repère orthonormé [tex](O,\vec i,\vec j)[/tex].
Dans ce repère je place les points [tex]A({273 \over 2}\,;\,{{273 \sqrt 3} \over 2})[/tex] et [tex]B({-}{273\over 2}\,;\,{{273 \sqrt 3}\over 2})[/tex].
Le triangle OAB ainsi créé est bien équilatéral, d'accord ?

Pas d'accord yoshi, si tu poses [tex]A({{273 \sqrt 3} \over 2}\,;\,{273 \over 2})[/tex] et [tex]B(-{{273 \sqrt 3} \over 2}\,;\,{273 \over 2})[/tex], là je suis d'accord ! il faut que l'angle [tex](\vec{OB},\vec{OA})[/tex] mesure [tex]\Pi\over 3[/tex], dans ton cas ça faisait le double. J'espère que ça va régler tes problèmes.
++


Barbichu

Hors ligne

#6 19-08-2008 12:24:20

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bon, en fait voici ma solution.
Je place O, l'origine de mon repère comme le point qui réalise les distances voulues (parce que ça simplifie les calculs de se placer en ce point).
Je pose A d'affixe a entière, le premier sommet (je ferai varier a par la suite). J'appelle [tex]l[/tex] la longueur d'un coté.
Je pose [tex]\omega=e^{i\Pi\over 3}={1\over 2} +{{\sqrt{3} i}\over 2}[/tex] et r complexe de module 1 et d'argument compris entre 0 et [tex]\Pi\over 6[/tex], on dira pour l'instant [tex]r=x+iy[/tex]
Je pose [tex]b = a-lr[/tex], en faisant varier l'argument de r entre 0 et [tex]\Pi\over 6[/tex] j'obtiens toutes les possibilités pour le placement de B, à symétrie près.
Et enfin [tex]c = a-lr\omega[/tex], mon triangle ABC est bien équilateral de coté l (ça se vérifie facilement).

[tex]|b|^2 = a^2 + l^2 - 2la\Re(r)[/tex] et  [tex]|c|^2 = a^2 + l^2 - 2la\Re(r\omega)[/tex]
Or  [tex]\Re(r)=x[/tex]
et  [tex]\Re(r\omega) = \Re((x+iy)({1\over 2} +{{\sqrt{3} i}\over 2})) ={x\over 2}-{{\sqrt{3} y}\over 2}[/tex]

D'où [tex]|b|^2 = a^2 + l^2 - 2lax[/tex] et  [tex]|c|^2 = a^2 + l^2 - 2la({x\over 2}-{{\sqrt{3} y}\over 2})[/tex]
Donc [tex]2lax[/tex] et  [tex]2la({x\over 2}-{{\sqrt{3} y}\over 2})[/tex] sont entiers, notons les respectivement n et m.
On a donc [tex]x={n \over 2la}[/tex] et [tex]y = {n-2m\over 2\sqrt{3}la}[/tex]

Maintenant, comme l'argument de r est compris entre 0 et [tex]\Pi\over 6[/tex], on a [tex]x\geq {\sqrt{3}\over2}[/tex]
ou encore  [tex]n\geq\sqrt{3}la[/tex]
Et comme r est de module 1 :  [tex]{n \over 2la}^2 +({n-2m\over 2\sqrt{3}la})^2 = 1[/tex]
ou encore [tex]3n^2+(n-2m)^2=12l^2a^2[/tex]

Pour résumer : on a
[tex]|b|^2 = a^2 + l^2 - n[/tex] et  [tex]|c|^2 = a^2 + l^2 - m[/tex]
avec n et m entiers tels que [tex]3n^2+(n-2m)^2=12l^2a^2[/tex] et  [tex]\sqrt{3}la\leq n\leq 2la[/tex]
Codons donc un petit programme (python) qui balaye les a entre 1 et 272 et les n entre [tex]\sqrt{3}la[/tex] et [tex]2la[/tex]:

from math import sqrt, ceil

def f(l):
    for a in range(1,l):
        for n in range(int(ceil(sqrt(3)*l*a)),2*l*a+1):
            p2 = 12*(l*a)**2 - 3*n**2
            p = int(sqrt(p2))
            if p2==p**2 and (n-p)%2==0:
                m = (n-p)/2
                b2 = a**2+l**2-n
                c2 = a**2+l**2-m
                b =int(sqrt(b2))
                c =int(sqrt(c2))
                if c**2==c2 and b**2==b2 and b<l and c<l:
                    print ((a,b,c), (n,m))

Résultat :

((65, 208, 247), (35490, 17745))
((120, 153, 237), (65520, 32760))
((153, 120, 237), (83538, 41769))
((208, 65, 247), (113568, 56784))

Dernière modification par Barbichu (19-08-2008 18:32:36)


Barbichu

Hors ligne

#7 19-08-2008 12:33:34

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

yoshi a écrit :

Maintenant je place un point M(a ; b) à l'intérieur du triangle et j'appelle H, I, K les pieds respectifs des perpendiculaires abaissées de M sur [OA], [AB] et [BO].
Si les distances de ce point aux 3 sommets du triangle sont toutes les 3 strictement entières, alors la longueur MI doit, elle en particulier, être entière.

Je ne suis pas d'accord non plus, MI n'a aucune raison d'être entier

++
NB : un jour j'apprendrais à lire les messages en entier avant d'y répondre 2 fois.


Barbichu

Hors ligne

#8 19-08-2008 12:34:59

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Je veux pas vous laisser croire que je me fiche de vos réponses mais la je suis au boulot et mon proxy va même jusqu'à me bloquer l'accès au site de vérification.

J'étudierai vos démarches ce soir en rentrant et je regarderai si les solutions de Barbichu fonctionnent.


A++

Galdinx.

Hors ligne

#9 19-08-2008 12:47:20

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,

Ou aujourd'hui je suis complètement aveugle (si, si, ça m'arrive !), ou alors je ne suis pas d'accord...
Je trace un triangle AOB équilatéral, avec (AB) parallèle à l'axe des x,  de côté 273 m.
Donc, je dois avoir AB = 273.
Avec ta correction, j'obtiens :
[tex]AB\,=\,\frac{273\sqrt 3}{2}\,-\,(-\frac{273\sqrt 3}{2})\,=\,273\sqrt 3[/tex] et non 273...
D'autre part la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est bien [tex]\frac{a\sqrt3}{2}[/tex], non ?
Ainsi que j'ai construit AOB, y'y est la bissectrice de l'angle [tex]\hat{AOB}[/tex] (et la hauteur, la médiane, la médiatrice de [AB]), j'appelle P l'intersection de y'y et de [AB].
J'ai donc bien [tex]OP\,=\frac{273\sqrt 3}{2}[/tex]...
Soit [tex]A({273\over 2}\,;\,\frac{273\sqrt 3}{2})[/tex]...
Encore une couche...
Un peu de trigo  [tex]\hat{POA}\,=\,{\pi\over 6}[/tex].
Dans le triangle OPA, rectangle en P :
[tex]tan(\hat{POA}\,=\,={PA \over PO}[/tex]
Soit :
[tex]tan({\pi\over 6})\,=\,=\frac{PA}{\frac{273\sqrt 3}{2}}[/tex]
D'où enfin [tex]PA\,=\,\frac{273\sqrt 3}{2}\,\times\,tan({\pi\over 6})\,=\,\frac{273\sqrt 3}{2}\,\times\,\frac{\sqrt 3}{3}={273 \over 2}[/tex]

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#10 19-08-2008 12:57:30

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Oups, en effet, je me suis trompé (j'imaginais (AB) vertical et j'ai fait un mix entre ce que je pensais et ce que je croyais voir). Mais je ne pense pas me tromper sur le fait que MI n'a aucune raison d'être entier.
++

Dernière modification par Barbichu (19-08-2008 12:59:48)


Barbichu

Hors ligne

#11 19-08-2008 13:01:03

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

Effectivement je suis aveugle, mais par pour les raisons qu'on pourrait croire !
Dès le début, je suis parti des distances  aux côtés du triangle alors que Galdinx avait écrit :

Trouver le point (a priori il n'y en a qu'un), strictement à l'intérieur du triangle, tel que les distances de ce point aux 3 sommets du triangle soit toutes les 3 strictement entières.

Zut ! A refaire...
Je m'y attelle et je reviens !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#12 19-08-2008 14:04:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

RE,

Avec ma méthode, je n'aboutis à rien, probablement parce que les valeurs (des coordonnées du point M) avec lesquelles je fais les tests ne sont pas décimales ou alors en dehors du champ testé...

Barbichu, ta démonstration et ton programme m'écorchent les yeux : je devrais être obligé de réfléchir pour suivre ? que nenni ! Trop fatiguant ! ;-)
Bon, sérieux, en prenant le triangle ainsi que je l'ai fait, y a-t-il un moyen simple d'obtenir les coordonnées de M à partir de tes calculs ?
C'est, toute proportion gardée, c'est là un peu le même genre de problématique que dans les calculs d'astrologie, où il faut corriger les coordonnées héliocentriques des planètes en coordonnées géocentriques : sans avoir les méthodes, impossible !

@+

[EDIT]
Sais-tu s'il y a un moyen de faire "avaler" à Python l'argument step décimal ? J'ai bien l'impression que le pas de la boucle for soit être un entier relatif uniquement... Me trompe-je ?

Dernière modification par yoshi (19-08-2008 15:49:24)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#13 19-08-2008 17:56:31

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

Désolé Barbichu, mais apparemment les 2 résultats que tu proposes ne sont pas bons...

Personnelement, je bloque autant que Yoshi en ayant pris un triangle de coté O(0,0) A(273,0) et B (273/2, 273*sqrt(3)/2).


J'essaye de comprendre la méthode de Barbichu mais j'avoue avoir du mal.


A vous lire.

++

Hors ligne

#14 19-08-2008 18:31:16

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,
une petite vérification vient de me faire me rendre compte que mes solutions sont tout à fait justes, à ceci près qu'elles donnent un point situé sur un coté du triangle (65+108=273 et 120+153=273).
Du coup je suis d'autant plus surpris de ne pas trouver de vraie solution ...
++
PS : pour yoshi, en effet, range prend un step entier seulement


Barbichu

Hors ligne

#15 19-08-2008 19:00:25

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,
Bon, je ne trouve pas l'erreur dans mon raisonnement précédent
mais je viens également de trouver une méthode un peu plus simple.

Je pars du schéma de yoshi
Notons [tex]a[/tex] l'affixe de A, l'affixe de B est [tex]-\bar{a}[/tex] (on se souviendra que |a|=273)
il faut dire que M d'affixe z est à l'intersection de 3 cercles de rayon entier.
Ça s'écrit [tex]|z|[/tex], [tex]|z-a|[/tex] et [tex]|z+\bar{a}|[/tex] entiers.
On élève ces deux derniers au carré :
[tex]|z-a|^2 = |z|^2 + |a|^2 - 2\Re(z\bar{a})[/tex]
[tex]|z+\bar{a}|^2 = |z|^2 + |a|^2 + 2\Re(za)[/tex]

À présent on va tester toutes les valeurs entières possibles pour |z|, |z+a| et |z-a| possibles et vérifier que ces valeurs sont compatibles :
[tex]|z+\bar{a}|^2 - |z-a|^2 = 2||a|\Re(z)[/tex]
[tex]|z+\bar{a}|^2 + |z-a|^2 = 2|z|^2 + 2|a|^2 + 2\sqrt{3}|a|\Re(zi) = 2|z|^2 + 2|a|^2 - 2|a|\sqrt{3}\Im(z)[/tex]

Soient alors  [tex]U = 2|a|\Re(z) = |z+\bar{a}|^2 - |z-a|^2[/tex]
et                [tex]V = 2|a|\sqrt{3}\Im(z) = 2|z|^2 + 2|a|^2 - (|z+\bar{a}|^2 + |z-a|^2)[/tex]
Il faut alors vérifier que [tex]|a|^2|z|^2 = {U^2\over 4} + {V^2\over 12}[/tex]

Voici donc le code (dans lequel j'impose dans les "range" que les cercles se coupent (grace à la borne min) et que le cercle autour de O soit plus grand que celui autour de B qui soit plus grand que celui de A (bornes max), pour obtenir unicité des solutions.)
n, m et p représentent respectivement les valeurs devinées pour [tex]|z|[/tex], [tex]|z-a|[/tex] et [tex]|z+\bar{a}|[/tex]

for n in range(1,273):
    for p in range(273-n+1,n+1):
        for m in range(273-n+1,p+1):
            u = p**2 - m**2
            v = 2*n**2+2*273**2-(p**2+m**2)
            if 12*(n*273)**2 == 3*u**2+v**2:
                print (n,m,p)

Résultat :

(208, 97, 185)
(237, 120, 153)
(247, 65, 208)

Et j'ai la solution manquante : (208, 97, 185) youpi
++

PS : ça y est ! j'ai trouvé mon erreur, j'ai codé à un moment m = (n-p)/2, mais il faut aussi prévoir le cas m = (n+p)/2. Bref je me comprends, et ma deuxième méthode est plus rapide de toute façon.

PS2 : j'ai corrigé l'erreur de typo (assez grave) qui gêne yoshi dans son post ulterieur #17.

Dernière modification par Barbichu (20-08-2008 11:33:07)


Barbichu

Hors ligne

#16 19-08-2008 20:07:08

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

En effet, cette solution fonctionne; bravo à toi même si malheureusement je suis devant le résutlat sans trop comprendre le raisonnement.

++

Hors ligne

#17 20-08-2008 11:03:04

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,


Eh, chef ! Pense un peu aux pauvres mortels que nous sommes... Quand tu as le temps, peux-tu détailler un peu plus tes démonstrations et tes codes informatiques ? Merci d'avance...
Parce que là, pour la 2e fois, je suis aussi perplexe que Galdinx...

Donc, si j'ai bien compris, l'idée générale c'est de chercher directement quelles sont les longueurs entières du point M aux trois sommets et non les coordonnées desdits points M ?
Pour cela, tu notes z l'affixe de M, a celle de A et donc [tex]{-}\bar a[/tex] celle de B...
Tu as donc :
[tex]\vec{OM}(z),\,\vec{AM}(z-a),\,\vec{BM}(z+\bar a)[/tex]
Ce qui fait que
[tex]OM^2=|z|^2,\,AM^2=|z-a|^2,\,BM^2=|z+\bar a|^2[/tex]
Jusque là, je crois que c'est simple...
Mais après, pourquoi calcules-tu
[tex]|z-a|^2[/tex] et [tex]|z+a|^2[/tex]
et non
[tex]|z-a|^2[/tex] et [tex]|z+\bar a|^2[/tex] ?
Mais [tex]|z+a|^2=|z-(-a)|^2[/tex].
Si j'appelle A' le symétrique de A par rapport à O, on a A'(-a), donc [tex]\vec{A'M}(z+a)\text{ et }A'M^2\,=\,|z+a|^2[/tex].
Pourquoi BM² serait-il égal à A'M² ?

Pour l'instant, je ne peux aller plus loin...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#18 20-08-2008 11:21:44

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

yoshi a écrit :

Re,


Eh, chef ! Pense un peu aux pauvres mortels que nous sommes... Quand tu as le temps, peux-tu détailler un peu plus tes démonstrations et tes codes informatiques ? Merci d'avance...
Parce que là, pour la 2e fois, je suis aussi perplexe que Galdinx...

Donc, si j'ai bien compris, l'idée générale c'est de chercher directement quelles sont les longueurs entières du point M aux trois sommets et non les coordonnées desdits points M ?
Pour cela, tu notes z l'affixe de M, a celle de A et donc [tex]{-}\bar a[/tex] celle de B...
Tu as donc :
[tex]\vec{OM}(z),\,\vec{AM}(z-a),\,\vec{BM}(z+\bar a)[/tex]
Ce qui fait que
[tex]OM^2=|z|^2,\,AM^2=|z-a|^2,\,BM^2=|z+\bar a|^2[/tex]

exact

Jusque là, je crois que c'est simple...
Mais après, pourquoi calcules-tu
[tex]|z-a|^2[/tex] et [tex]|z+a|^2[/tex]
et non
[tex]|z-a|^2[/tex] et [tex]|z+\bar a|^2[/tex] ?
Mais [tex]|z+a|^2=|z-(-a)|^2[/tex].
Si j'appelle A' le symétrique de A par rapport à O, on a A'(-a), donc [tex]\vec{A'M}(z+a)\text{ et }A'M^2\,=\,|z+a|^2[/tex].
Pourquoi BM² serait-il égal à A'M² ?

Pour l'instant, je ne peux aller plus loin...

Ouille, c'est juste une erreur de typo que j'ai laissé échapper, il fallait effectivement lire [tex]|z+\bar{a}|[/tex]
Je vais éditer dans le texte ci-dessus pour que ce soit plus clair. D'ailleurs le resultat correspond bien à [tex]|z+\bar{a}|[/tex].


Barbichu

Hors ligne

#19 20-08-2008 11:54:39

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,
bon et c'est vrai que j'ai très mal expliqué.
Je vais rajouter des points ici :
Le calcul de U et V à l'avantage de ne reposer que sur les 3 distances "devinées" n, m et p.
En effet U = p²-m² et V = 2n²+2L²-(m²+p²)   (avec = L longueur d'un coté = 273)

Si le point d'intersection des 3 cercles existe, alors U et V permettent de retrouver très facilement la valeur de z.
Car alors [tex]U = 2L\Re(z)[/tex] et  [tex]V = 2L\sqrt{3}\Im(z)[/tex] c'est à dire [tex]z = {U\over 2L} + {V\over 2L\sqrt{3}}i[/tex]

Malgré tout on peut toujours poser [tex]w = {U\over 2L} + {V\over 2L\sqrt{3}}i[/tex]. Pour que le point d'intersection existe il faudrait vérifier que l'on retrouve bien [tex]|w|=n[/tex], [tex]|w-a|=m[/tex] et [tex]|w+\bar{a}|=p[/tex]
En fait on vérifie juste que [tex]|w|=n[/tex], car alors la solution du système d'équation à deux inconnues X et Y donné par  U = Y-X et V = 2n²+2L²-(X+Y) est unique. Puis étant donné que (X,Y) peut être remplacé par [tex](|w-a|^2,|w+\bar{a}|^2)[/tex] (cf calcul original avec z qui permet d'exprimer U et V en fonction de [tex]|w|=n[/tex], [tex]|w-a|[/tex] et [tex]|w+\bar{a}|[/tex]) aussi bien que par (m²,p²), ces deux couples sont alors égaux.

Désolé de mon absence de loquacité passée, j'espère que c'est corrigé.
++

Dernière modification par Barbichu (20-08-2008 12:01:15)


Barbichu

Hors ligne

#20 26-08-2008 15:59:12

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re
Au fait, j'ai été assez clair ou bien je dois reprendre depuis le début en organisant mon raisonnement de manière plus intelligible ?
(ou alors ni l'un ni l'autre ?)
++


Barbichu

Hors ligne

#21 26-08-2008 18:15:11

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
Site Web

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,


J'ai compris l'essentiel même si certains détails sont pas toujours très clair.

Mais je m'en contenterai (à voir si Yoshi pense pareil).

Merci encore.


++

Hors ligne

#22 23-11-2010 19:47:01

karlun
Membre
Inscription : 05-05-2010
Messages : 216

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

Barbichu a écrit :

Résultat :
Code:

(208, 97, 185)
(237, 120, 153)
(247, 65, 208)

Et j'ai la solution manquante : (208, 97, 185) youpi

En guise d'exercice, je me suis lancé également, avec Python, à la recherche de ce point...

Mais je constate que deux des trois solutions données par Barbichu ne sont pas strictement à l'intérieur du triangle:
(237, 120, 153)
(247, 65, 208)

En effet elles se situes sur l'axe des X.

Quant à la troisième, un autre programme (dit de vérification) ne donne rien pour le résultat (208, 97, 185).

L'idée est de faire évoluer X et Y de cm en cm (balayage) dans trois équations (Pythagore) calculant les trois distances de ce point (X,Y) aux sommets du triangle équilatéral.
Les résultats sont arrondis au millimètre.
(Mais quel temps énorme pour aboutir aux résultats)

Voici déjà le programme Python (ou apparaissent les 3 équations d1,d2,d3).

from __future__ import division
from math import*
from time import time
y,p,d=0,0.01,3
tp_d=time()
while y<238:
    x=0
    while x<274:
        d1=round(sqrt(x**2+y**2),d)
        d2=round(sqrt((273.-x)**2+y**2),d)
        d3=round(sqrt(273.**2-273.*x+x**2-(273*(sqrt(3)*y)-y**2)),d)
        if (d1+d2+d3)%1==0:                     #histoire d'accélérer l'analyse
            if d3%1==0:
                if d2%1==0:
                    if d1%1==0:
                        print d1,d2,d3,"*******",x,y,"******",d1+d2+d3              
        x+=p
    y+=p
tp_a=time()
print tp_a-tp_d,'s'

je crois que cette méthode n'est pas la meilleure puisqu'elle ne parvient pas à retrouver les points solution sur les deux autres côtés.

Comment améliorer cela sans devoir passer des plombes à attendre que les résultats tombent (ou pas)?
Voici les résultats complets après 6822.5 s. (1h54)

0.0 273.0 273.0 ******* 0 0 ****** 546.0
65.0 208.0 247.0 ******* 65.0 0 ****** 520.0
120.0 153.0 237.0 ******* 120.0 0 ****** 510.0
153.0 120.0 237.0 ******* 153.0 0 ****** 510.0
208.0 65.0 247.0 ******* 208.0 0 ****** 520.0
273.0 0.0 273.0 ******* 273.0 0 ****** 546.0
95.0 178.0 240.0 ******* 95.0 0.04 ****** 513.0
178.0 95.0 240.0 ******* 178.0 0.04 ****** 513.0
107.0 166.0 238.0 ******* 107.0 0.26 ****** 511.0
166.0 107.0 238.0 ******* 166.0 0.26 ****** 511.0
159.0 274.0 124.0 ******* 45.3 152.41 ****** 557.0
274.0 159.0 124.0 ******* 227.7 152.41 ****** 557.0
174.0 315.0 141.0 ******* 10.22 173.7 ****** 630.0
315.0 174.0 141.0 ******* 262.78 173.7 ****** 630.0
191.0 298.0 108.0 ******* 40.67 186.62 ****** 597.0
298.0 191.0 108.0 ******* 232.33 186.62 ****** 597.0
267.0 270.0 6.0 ******* 133.55 231.2 ****** 543.0
270.0 267.0 6.0 ******* 139.45 231.2 ****** 543.0
271.0 275.0 4.0 ******* 132.5 236.4 ****** 550.0
275.0 271.0 4.0 ******* 140.5 236.4 ****** 550.0
6822.5619998 s

Reste à sélectionner les solutions strictement à l'intérieur du triangle.

A+-*/

Dernière modification par karlun (23-11-2010 20:53:29)


Qui trouve, cherche.

Hors ligne

#23 24-11-2010 07:25:00

karlun
Membre
Inscription : 05-05-2010
Messages : 216

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Géolaborons.

tritri.png

J'exclus les 6 premiers points collant à l'axe des X (y=0)
Sans hésitation je rejette:
D    159.0 274.0 124.0 ******* 45.3 152.41 ****** 557.0
E    274.0 159.0 124.0 ******* 227.7 152.41 ****** 557.0
F    174.0 315.0 141.0 ******* 10.22 173.7 ****** 630.0
G    315.0 174.0 141.0 ******* 262.78 173.7 ****** 630.0
H    191.0 298.0 108.0 ******* 40.67 186.62 ****** 597.0
I    298.0 191.0 108.0 ******* 232.33 186.62 ****** 597.0

L    271.0 275.0 4.0 ******* 132.5 236.4 ****** 550.0
M    275.0 271.0 4.0 ******* 140.5 236.4 ****** 550.0

Seuls les point J et K demandent une analyse plus fine.

J    267.0 270.0 6.0 ******* 133.55 231.2 ****** 543.0
K    270.0 267.0 6.0 ******* 139.45 231.2 ****** 543.0

Si on admet le mm comme tolérance (c'est de l'horlogerie ou quoi?) j'ajoute encore N,O,P,Q, qui frisent avec l'axe des X mais avec Y positif.

N    95.0 178.0 240.0 ******* 95.0 0.04 ****** 513.0
O    178.0 95.0 240.0 ******* 178.0 0.04 ****** 513.0
P    107.0 166.0 238.0 ******* 107.0 0.26 ****** 511.0
Q    166.0 107.0 238.0 ******* 166.0 0.26 ****** 511.0

Détail pour J et K:

tritri2.png

Bon, J,K,N,O,P,Q,  au mm près, semblent être solutions de l'énigme.
Je suppute  qu'au dixième de mm de tolérance, d'autres solutions s'ajouteront... mais que de travail (pour Python).

Dans l'absolu je rejoins l'avis de Yoshi que c'est impossible de  "Trouver le point (a priori il n'y en a qu'un), strictement à l'intérieur du triangle, tel que les distances de ce point aux 3 sommets du triangle soit toutes les 3 strictement entières.

A+-*/


Qui trouve, cherche.

Hors ligne

#24 09-12-2010 08:57:37

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

karlun a écrit :

Mais je constate que deux des trois solutions données par Barbichu ne sont pas strictement à l'intérieur du triangle:
(237, 120, 153)
(247, 65, 208)

En effet elles se situes sur l'axe des X.

Oui, tout à fait, comme je l'ai précisé dans mon post #14.

karlun a écrit :

Quant à la troisième, un autre programme (dit de vérification) ne donne rien pour le résultat (208, 97, 185).

La troisième est tout à fait juste (et unique à permutation près des membres du triplet), j'en a une preuve mathématique (qui est divisée en deux posts : #15 et #19, et somme toute assez mal expliquée). Je ne sais sais pas quel "programme de vérification" tu as utilisé, mais s'il emploie le même genre de méthode (i.e. mm par mm) que tu as utilisée pour ta propre recherche, ce n'est pas un programme valide.

Il n'y a aucune chance que les points que tu recherches soient à coordonnée décimales (elle sont même irrationnelles !), donc aucune méthode utilisant des approximations décimales (voire rationnelle) ne peut te permettre de les trouver. Jamais ! Toute la difficulté derrière cet énoncé consiste à discrétiser le problème, à faire varier des paramètres dans un ensemble fini, tout en restant complet (i.e. tout en étant capable de trouver toutes les solutions, si elles existent).

karlun a écrit :

Dans l'absolu je rejoins l'avis de Yoshi que c'est impossible de  "Trouver le point (a priori il n'y en a qu'un), strictement à l'intérieur du triangle, tel que les distances de ce point aux 3 sommets du triangle soit toutes les 3 strictement entières.

Il en existe si on ne fait pas de présupposés non justifiés (i.e. coordonnés multiples de 10^-2 dans ton cas, MI entier dans le cas de yoshi quelques années auparavant).

Cordialement,

Dernière modification par Barbichu (09-12-2010 08:58:24)


Barbichu

Hors ligne

#25 09-12-2010 11:44:34

Golguup
Invité

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Comme si de rien n'etait

Pied de page des forums