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#1 17-07-2008 20:41:45

Golgup
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Fractions

rebonjour,

Il y a les 4 fractions suivantes:


[tex]\frac{61}{8}[/tex]   [tex]\frac{45}{24}[/tex]    [tex]\frac{29}{40}[/tex]   [tex]\frac{13}{56}[/tex]   (Elles ne sont séparé par aucun signe + - etc..)     
 


Mais, les numérateurs de chaque fraction sont séparé par -16 et les dénominateurs de chaque fraction sont séparé par +16, ainsi;

61     -16    45     -16    29    -16    13
-----           ----             ----           ----
  8     +16   24     +16    40   +16    56

Ma question sera, éxiste-il un moyen rapide (sans passer par la foce brute) de trouver parmi ces 4 fractions, laquelle est simplifiable, ici  [tex]\frac{45}{24}[/tex] . C'est trés important pour moi, merci beaucoup. 


Golgup

Dernière modification par Golgup (28-07-2008 22:02:44)


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#2 18-07-2008 07:19:36

yoshi
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Re : Fractions

Bonjour,

Je ne sais pas exactement ce que tu entends par "force brute", ni pourquoi tu n'en veux pas...

Je m'en vais donc tenter un "petit" raisonnement.
Le terme général de cette série de fractions est [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex] avec k entier <4.
8 + 16k = 8 (2k+1) autrement dit le dénominateur sera 8 fois un nombre impair : 8 x 1, 8 x 3, 8 x 5 et 8 x 7
Reste à savoir quand 61-16 k sera-t-il un nombre impair, multiple de 3, 5 ou 7.
(61 - 16 k sera toujours impair puisque pair- impair --> impair. Ca se prouve facilement)
[tex]61\,\equiv\,1\,(mod\, 3)\\16\,\equiv\, 1\,(mod\,3)\,donc\, 16k\,\equiv\,k\, (mod\,3)[/tex]

On voit donc que [tex]61\,-\,16\,\equiv\,0\,(mod\,3)[/tex]
La 2e fraction de la série est simplifiable

Et les autres ?
[tex]61\,\equiv\,1\,(mod\, 5)\\16\,\equiv\, 1\,(mod\,5)\,donc\, 16\,\times\,2\,\equiv\,2\, (mod\,5)[/tex]
Donc [tex]61\,-16\,\times\,2\,\not \equiv\,0\,(mod\,5)[/tex]
La 3e fraction n'est pas simplifiable.

[tex]61\,\equiv\,5\,(mod\, 7)\\16\,\equiv\,2\,(mod\,7)\,donc\, 16\,\times\,3\,\equiv\,6\,(mod\,7)[/tex]
Donc [tex]61\,-16\,\times\,3\,\not \equiv\,0\,(mod\,7)[/tex]
La 4e fraction n'est pas simplifiable.

Je ne sais pas si ça te convient (on ne peut pas dire que ce soit rapide, du moins à écrire) ?

@+

[EDIT] 61-16 k = 8 x 7 - 8 x 2k +5 = 8(7-2k)+5
En fait l'idéal serait de trouver un moyen de déterminer k pour que PGCD(8(7-2k)+5;8(2k+1))>1...
Je vais y réfléchir.

Dernière modification par yoshi (18-07-2008 19:51:19)


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#3 19-07-2008 10:01:42

Golgup
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Re : Fractions

Bonjour,

Excuse moi, je n'ai pas précisé ce que j'entendais par "force brute". La force brute pour moi c'est un moyen de répondre à une question en testant toutes les possibilités. Enfet ici je cherche un moyen de savoir quelle fraction est simplifiable sans tester fraction par fraction. Par exemple en faisant le PGCD de chaque numérateur et dénumérateur de toutes les fractions je trouve laquelle est simplifiable, mais je sui forcé de toutes les ésayer..
Un moyen rapide sans passer par la force brute serait le bienvenu.. : )

En tous cas merci pour les éxplications et pour le fait que tu vas y réflechir!

Dernière modification par Golgup (19-07-2008 10:02:30)


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#4 20-07-2008 08:53:21

yoshi
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Re : Fractions

Salut,

Je peux faire un tout petit mieux, mais tomber directement sur la seule divisibilité possible me paraît (pour l'instant) utopique.
Bon, je pars de ma fraction générique :
[tex]\frac{61-16k}{8(2k+1)}[/tex]

2k+1 prend les valeurs 3, 5 et 7 pour k = 1, 2 et 3.
Il me faut donc chercher si 61-16k peut être multiple de 3, 5 ou 7 et pour quelle valeur de k.

61-16k = 15(4-k) + 1 - k : 15(4 - k) étant multiple de 3 et de 5, il me reste donc à savoir si 1 - k peut être multiple de 3 ou 5. Réponse : oui pour k = 1

61- 16 k = 7(8 - 2k)+ 5 - 2k :  7(8 - 2k) étant multiple de 7, il me reste donc à savoir si 5 - 2k peut être multiple de 7. Réponse : non (il faudrait que k = 2,5)
La seule fraction simplifiable est donc obtenue pour k = 1, soit :
[tex]\frac{61-16}{8+16}={45\over 24}[/tex]

Ca te convient mieux ?

@+


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#5 28-07-2008 18:17:44

Golgup
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Re : Fractions

Bonjour,

La methode est encore trop longue, en tous cas je sais maintenant que c'est impossible MALHEUREUSEMENT  ; (

á+


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#6 28-07-2008 19:16:57

ABB
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Re : Fractions

Bonsoir
Il existe un moyen simple de savoir la fraction simplifiable par les quatre fractions :
Le forme générale de cette suite de fractions est [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex], cette forme était mentionnée par yoshi.
Supposons que la fraction [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex] est simplifiable
Alors 61-16k et 8+16k admettent un diviseur commun d distinct de 1
On a : d divise [tex](61-16k)+(8+16k)[/tex]  c'est-à-dire d divise 69
Donc : l’entier naturel d prend les valeurs 3 ; 23, 69
Eliminons la valeur 69 car les numérateurs (comme les dénominateurs) de ces quatre fractions sont strictement inférieurs à 69
Eliminons la valeur 23 car les dénominateurs de ces quatre fractions ne sont pas divisibles par 23
La méthode de savoir  la fraction simplifiable parmi les quatre fractions :c’est chercher la fraction dont le numérateur et dénominateur sont divisibles par 3

Dernière modification par ABB (28-07-2008 19:32:18)

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#7 28-07-2008 19:40:46

yoshi
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Re : Fractions

Bonsoir,

Joli ! Pas pensé...
Ne serait-ce pas plus court, après la remarque que d divise 69, de reprendre la mienne de remarque signalant que le dénominateur s'écrit 8(2k+1) donc que les seuls diviseurs qui sont à prendre en compte sont 3, 5 et 7.
Par conséquent, le nombre d cherché est 3, d'où k = 1.

@+


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#8 28-07-2008 19:47:03

ABB
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Re : Fractions

Bonsoir
Tu a raison, yoshi. Je n’ai pas fait attention.
il est difficile de lire toute la démonstation sur écran.

Dernière modification par ABB (28-07-2008 20:19:09)

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#9 28-07-2008 20:10:02

yoshi
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Re : Fractions

Bonsoir,

C'est clair, il est reconnu que la lecture sur écran est 30 % moins rapide que sur papier. Et de plus, il faut tenir compte en plus de la pénibilité en fonction des moniteurs...

Donc pour Golgup, je résume.

La forme générale des fractions est [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex]
Le dénominateur s'écrit de plus encore 8(2k+1). Les seuls diviseurs d à prendre compte sont 3, 5 et 7 respectivement obtenus pour k= 1, 2 et 3.
Si l'une des fractions est simplifiables par le nombre d, comme d divise [tex](61-16k)[/tex] et [tex](8+16k)[/tex],  il divise aussi [tex](61-16k)+(8+16k)=69[/tex]
Le seul nombre de l'ensemble {3,5,7} divisant  69 est donc 3, d'où  k = 1 et la seule fraction simplifiable (par 3) est [tex]{24 \over 45}[/tex]

Voilà Golgup, c'est dit, cette fois c'est définitif, on ne peut pas faire mieux...

@+


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#10 28-07-2008 22:13:47

Golgup
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Re : Fractions

resalut,

ABB si'il te plaît, tu pourrais me détailler la façon que tu as utilisé pour trouver les diviseurs potentiels 3 et 23  ?

Merci

Ahh! Cette factorisation!, un cercle vicieux!

Dernière modification par Golgup (28-07-2008 22:22:43)


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#11 28-07-2008 22:55:59

ABB
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Re : Fractions

Bonsoir
j'ai pensé à factoriser 69 en produit des facteurs premiers.

on a 69=3x23 et 23 est un nombre premier, je ne tiens pas compte de 1 car d est distinct de 1.

Dernière modification par ABB (28-07-2008 23:00:26)

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#12 29-07-2008 08:26:39

Golgup
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Re : Fractions

Salut,

Donc au final, sa revient à la meme chose que d'appliquer le pgcd des numérateurs et dénumeateurs fraction aprés fraction, se que j'avais mentionné dans le 3eme commentaire comme n'etant pas un racourci (pour moi).

Et s'est assez rigolo car ta solution proposé (factoriser 69) est enfait se que je cherchais a trouvé en trouvant quel fraction est simplifiable! C'est se que je disais; un veritable cercle vicieux.

@+ et merci!

Dernière modification par Golgup (29-07-2008 08:27:05)


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#13 29-07-2008 09:57:52

yoshi
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Re : Fractions

Bonjour,

Là, pépère, tu pousses un peu...
Dans ton message #3, tu écris :

Par exemple en faisant le PGCD de chaque numérateur et dénumérateur de toutes les fractions je trouve laquelle est simplifiable, mais je sui forcé de toutes les ésayer...

Je te fais remarquer que
1. Nous n'avons pas essayé toutes les fractions,
2. Nous n'avons pas utilisé la notion de PGCD, ?
3. En fait, peu importe par quoi se divise 69, si je sais par quoi il ne se divise pas...

Rappel de la méthode avec justifications.
1. La forme générale des fractions est [tex]\frac{61-16k}{8(2k+1)}=\frac{15(4 - k)}[/tex]
2. Les dénominateurs successifs, outre 8 (qui n'est pas intéressant), se divisent par 3 (k=1), 5 (k=2) ou 7 (k=3)
3. Désignons par d l'un de ces diviseurs. Une fraction sera simplifiable si d divise aussi le numérateur et donc aussi (61-16k)+(8+16k)=69. 69 ( 6+9 = 15) est un multiple de 3, pas de 5 (terminaison) ni de 7 (table de 7).
4. Donc 3 est le diviseur cherché et k = 1. Donc  la fraction cherchée est [tex]{45 \over 24[/tex]

Rappel de la méthode sans justifications.
1. La forme générale des fractions est [tex]\frac{61-16k}{8(2k+1)}=\frac{15(4 - k)}[/tex]
2. La fraction est divisible si d le diviseur commun est 3 (k=1), 5 (k=2) ou 7 (k=3).
3. d est aussi un diviseur de (61-16k)+(8+16k)=69. 69  est un multiple de 3, pas de 5  ni de 7.
4. Donc 3 est le diviseur cherché et k = 1. Donc  la fraction cherchée est [tex]{45 \over 24[/tex]

Je ne vois pas ce que tu peux attendre de mieux pour 4 fractions d'une part, et une solution aussi courte (4 lignes).
Imagine que tu aies 25 fractions à tester : cette méthode à adapter, marcherait aussi.

@+


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#14 29-07-2008 12:24:48

Golgup
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Re : Fractions

Re,

Je comprends bien se que vous me dites, mais si à la place de 69 , il y a un nombre trés grand N, comment trouver quel nombre parmis tous les nombres compté 2 par 2 à partir de 1, tous inférieur a la racine carré de N le divise?? Ce que je veus dir par la, c'est que l'on retombe sur le meme probleme de FACTORISATION.

ex:          N=1189
               [tex]\sqrt{1189}[/tex]=34

Maintenant, je formes les fractions en faisant 34* tous nombres<34 compté 2 par 2 en partant de 1;

34* 3    5    7    9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29    31    33
      ||   ||   ||    ||    ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||     ||
   102 170 238 306  374  442  510  578  646  714   782  850  918  986  1054  1122
  ------ ---- ----- ---- ----  ---- ----   ----   ----  ----  -----  ----   ----  ----   -----  -----
  1087 1019 951 883 815  747 679  611   543  475   407  339  271  203  135    67

(pour trouver 1087, 1019; 951.. etc, j'ais fais 1189- le resultat de 34* 3,5,7...);

j'ais mes fractions, reste à savoir laquelle est simplifiable, C'est la que vous proposez de diviser chaque numérateur (dans cet exemple "dénumérateur" car je les ais inversé) par 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 pour trouver le diviseur commun.

Une fraction sera simplifiable si d divise aussi le numérateur

(ici dénominateur)

Et c'est la que je vous réponds que sa revient au meme que de faire le théoreme d'euclide pour trouver le diviseur commun.

Désolé de pousser le bouchon...mais il me semble que je dis juste quand meme??non?

++


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#15 29-07-2008 12:33:20

ABB
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Re : Fractions

Bonjour
    Si j’ai bien compris, Golgup ne veux pas utiliser le pgdc pour résoudre le problème en question.
    Je vais proposer une méthode qui se base implicitement sur l’algorithme d’EUCLIDE :
**On a : [tex]\frac{61}{8}=7+\frac{5}{8}[/tex]
Comme [tex]\frac{5}{8}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{61}{8}[/tex] est non simplifiable.
**On a : [tex]\frac{40}{29}=1+\frac{11}{29}[/tex]
Comme [tex]\frac{11}{29}[/tex] est non simplifiable ( on remarque que 11 ne divise pas 29)alors [tex]\frac{40}{29}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{29}{40}[/tex] est non simplifiable
**On a : [tex]\frac{56}{13}=4+\frac{4}{13}[/tex]
Comme [tex]\frac{4}{13}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{56}{13}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{13}{56}[/tex] est non simplifiable

    Ce problème ouvre un débat sur la possibilité de reconnaître une fraction est simplifiable ou non dans le cas où son numérateur et son dénominateur n’ont pas un diviseur commun trivial. Par exemple la fraction [tex]\frac{347}{695042}[/tex] est –elle simplifiable ?

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#16 29-07-2008 13:41:25

Golgup
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Re : Fractions

Re,

C'est quoi au juste un diviseur commun trivial?

Sion je dirais;

347=nombre premier
Il reste alors plus qu'une possibilité: 695042 divisible par 347? non donc cette fraction n'est pas simplifiable.

Mais il ya sans doute une sorte de piege.

Dernière modification par Golgup (29-07-2008 14:00:47)


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#17 29-07-2008 14:00:47

ABB
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Re : Fractions

Bonjour

Le problème ne réside pas dans le choix de 347; tu peux le changer, par exemple par 1235
Un diviseur commun trivial c'est un diviseur commun qu’on peut détecter facilement.

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#18 29-07-2008 14:04:54

Golgup
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Re : Fractions

Mais il n'y a pas de diviseurs communs se detectant plus facilement qu'un autre, ils dépendent de la compléxité des deux nombres englobant ce diviseur commun??
Je ne suis pas sur de bien comprendre..

Dernière modification par Golgup (29-07-2008 14:06:53)


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#19 29-07-2008 14:07:25

yoshi
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Re : Fractions

Bonjour,


(Réponse à messages #14 et #15)
Et moi, si j'ai bien compris, je dirais que Golgup ne veut pas avoir à traiter les fractions une par une : il veut savoir du premier coup laquelle est simplifiable...

Ta liste de fractions est bien de la forme, avec k entier naturel :
[tex]\frac{34+68k}{1087-68k}[/tex] ?
Ta question est alors : dans cette liste laquelle (ou lesquelles) est (sont) simplifiables ?

Si oui, alors, je réfléchis...
k<16.
34+68k+1087-68k=1121
Avec la divisibilité, tu es assuré que 1121 ne se divise pas par 2, 3, 5, 7 et 11...
Là, a priori, je ne vois pas d'autre choix que de décomposer 1121...
Et avec les divisions, tu constates que 1121 ne se divise pas non plus par 13 et 17, mais par 19 --> 1121 = 19 x 59
34+68k = 34(2k+1)... On a 2k+1 = 19 d'où k = 9 et 2k+1 = 59 d'où k = 29 mais 29 > 16.
Sans ta liste il y a une seule fraction simplifiable :
[tex]\frac{34\times 19}{1087-68\times 9}=\frac{646}{475}[/tex]

Ca ne remplace pas avantageusement le calcul de 16 PGD ?

@+

[EDIT]

ABB a écrit :

un diviseur commun qu’on peut détecter facilement.

Je préciserais que "facilement" = avec le minimum de calculs...
C'est pour cela qu'on a inventé les "caractères de divisibilité" par 2, 3, 5, 7, 11...
9 aussi mais il n'est pas premier...
7 ou 11 selon la quantité de chiffres du nombre (par ex 2) ça ne vaut pas le coup de les appliquer : les tables de x les remplacent avantageusement...


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#20 29-07-2008 14:32:17

Golgup
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Re : Fractions

Rebonjour,

Yoshi, pourquoi 1121 ? si c'est une erreur, il sagit de 1189, ce qui rend fausse la fraction finale [tex]\frac{646}{475}[/tex]


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#21 29-07-2008 14:43:12

yoshi
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Re : Fractions

Re,

Si tu décidais de réfléchir davantage avant d'écrire, il n'y aurait pas de quiproquo final...
J'ai écrit :

Ta liste de fractions est bien de la forme, avec k entier naturel :
[tex]\frac{34+68k}{1087-68k}[/tex] ?
Ta question est alors : dans cette liste laquelle (ou lesquelles) est (sont) simplifiables ?

Ce ne sont pas les bonnes fractions ?
Tu pars de quoi ? 34/1189 ? parce que comme c'est un peu "touffu", j'ai pas vraiment eu le courage de déchiffrer...

Donc, ça nous donnerait [tex]\frac{34*(2k+1)}{1189-34(2k+1)}[/tex], c'est ça ?
Soit : 34*(2k+1)+1189-34(2k+1)=34+1189=1223
Encore mieux : 1223 est premier aucune fraction n'est simplifiable...

@+


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#22 29-07-2008 14:48:17

Barbichu
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Re : Fractions

Hello,
la terminologie usuelle veut que "diviseur trivial de n" désigne 1 et n.
Après on peut l'étendre à "1, 2, 3, 7, 11, n", mais c'est plutôt ce que j'appellerais "diviseur évident" mais bon ce n'est qu'une question de vocabulaire.

Pour Golgup, j'ai 3 choses à dire :
1/ Une complexité en moyenne ou en pire cas très élevée ne signifie pas qu'il n'y a pas de cas simples. Exemple : j'écris N = 2^128 en base 10 et je demande une factorisation. Disons que l'on possède un algo polynômial en N (exponentiel en |N|=ln N), il s'agit d'un problème qui peut potentiellement prendre des années sur une machine avec une autre entrée de même taille. Mais là, tout algorithme bien conçu résoudra le problème en temps record.

2/ La complexité du calcul du pgcd (par l'algo d'euclide par ex) est polynômiale en ln(N) donc tout à fait raisonnable à calculer sur machine. Et (cf 1 appliqué cette fois au pgcd), il y a des diviseurs communs se détectant plus facilement (cf les "critères de divisibilité par 2, 3, ..." mentionnés pas yoshi), en fait on peut même choisir lesquels avant de coder notre algorithme ...

3/ cf le message #19 (par yoshi), on remplace le calcul exhaustif de n pgcds par un calcul exhautif des k facteurs de m (k et  m indépendants de n !), puis une résolution d'équation diophantienne pour chacun des k facteurs. Le tout est de voir pour quels couples (n,m) il est avantageux de choisir la méthode "pgcd" ou la méthode "factorisation", car il s'agit là de méthodes orthogonales. De plus par indépendance de n et m, ça te dit que la méthode "factorisation" ne dépend (presque) que de m.

++

Dernière modification par Barbichu (29-07-2008 14:51:33)


Barbichu

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#23 29-07-2008 15:16:24

Golgup
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Re : Fractions

yoshi,

Tu dis que la fraction  [tex]\frac{646}{475}[/tex] est simplifiable, je veut bien te croire, or, elle n'est pas presente dans ma liste. C'est la 14eme fraction qui est simplifiable.
                                                                             
Désolé d'etre lourd, mais à sa:

34*(2k+1)+1189-34(2k+1)

je trouve 1189. C'est normal?

Dernière modification par Golgup (29-07-2008 15:43:32)


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#24 29-07-2008 15:47:11

Barbichu
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Re : Fractions

Non, il y a juste une petite erreur de formalisation de ta suite de la part de yoshi.
c'est [tex]\frac{102+68k}{1087-68k}[/tex] et non  [tex]\frac{34+68k}{1087-68k}[/tex].
Mais cela ne change pas le principe !!

Soit d un diviseur commun au numérateur et au dénominateur alors d divise la somme [tex]102+68k + 1087-68k = 1189 = 29\cdot 41[/tex] donc si d n'est pas trivial (ie égal à 1 ou 1189) on a d=29 ou d=41.

On résoud donc [tex]102+68k = nd[/tex] d'inconnues k et n et avec k<16
Ou encore [tex]nd = 34(3+2k)[/tex], ie d divise 34(3+2k) or d premier avec 34 donc d divise 3+2k, ie il existe m tel que dm = 3+2k
ou encore k = (dm-3/)2

Pour d=29, m=1 : k = 13
Dans tous les autres cas, k>15.

On en conclu que seule est simplifiable [tex]\frac{34\cdot 29}{1087-68\cdot13} = \frac{986}{203}[/tex]

Ok ?

Bon, maintenant que tu as pu voir sur un autre exemple qu'au final ça ne dépendait plus du tout du nombre de fractions mais de la factorisation d'un nombre qui n'intervient que dans la formule générique de ta suite de fraction, cela te va-t'il ?

Dernière modification par Barbichu (29-07-2008 15:50:37)


Barbichu

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#25 29-07-2008 16:02:33

Barbichu
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Re : Fractions

Bon, en regardant de plus près #14, je réalise que tu as une façon générique de construire ta suite de fractions en fonction du nombre m à factoriser (cf #22.3/).
Cela engendre systématiquement [tex]\left\lfloor\frac{\left\lfloor\sqrt{m}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor[/tex] fractions.
Dans ce genre de cas
* en pratique, il vaut (assympotiquement) mieux calculer les [tex]\left\lfloor\frac{\left\lfloor\sqrt{m}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor[/tex] pgcd que de factoriser m.
* en théorie, on peut faire des hypothèses sur un encadrement des racines inferieures à [tex]\lfloor\sqrt{m}\rfloor[/tex] et en déduire le nombre de solution et leur forme.

Dernière modification par Barbichu (29-07-2008 16:07:18)


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