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#1 28-07-2008 23:47:30

ABB
Membre
Inscription : 20-07-2008
Messages : 54

Permutation des aguilles d’une montre

Salut
    Un jour qu’Albert Einstein était malade, son ami et biographe A.Mochkovski lui proposa pour le distraire le problème suivant :
    « Prenons la position des aiguilles à 12 heures. Si dans cette position la grande et la petite aiguille échangent leurs places, leurs indications resteront tout de même exactes. Mais à d’autres instants, par exemple,à six heures, une pareille permutation conduirait à une position impossible avec une montre qui marche bien : la grande aiguille ne peut pas se trouver sur 6 quand la petite indique 12.Une question se pose alors : quand est-ce que les aiguilles d’une montre occupent  une position telle que leur interversion donne une nouvelle position, également possible avec une montre en bon état ?
    Oui, répondit Einstein, c’est un problème qui convient bien à un homme contraint de garder le lit : assez intéressant et pas trop facile. Mais je crains que la distraction ne dure pas longtemps car j’ai déjà trouvé la solution » Rapidement, écrit Mochkovski, il a tracé sur un morceau de papier un schéma représentant les conditions du problème. Pour le résoudre il a mis moins de temps que je n’ai mis, moi, pour l’exposer… »
    Comment résoudre ce problème ?

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#2 29-07-2008 14:20:46

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Salut,
les positions possibles des aiguilles sont supposées continues ou discrètes ?
Si la réponse est "discrète" je suppose que c'est pour les angles de la forme 2kPi/60 ?
a+

Dernière modification par Barbichu (29-07-2008 14:21:05)


Barbichu

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#3 02-08-2008 21:17:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Salut,

  C'est un problème très étonnant!
Et ce qui est encore plus étonnant, c'est le nombre de solutions.
143, si je ne me suis pas trompé...
(pour Barbichu : j'ai pris des positions continues des aiguilles sur l'horloge).

Fred.

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#4 02-08-2008 23:14:08

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Salut Fred,
alors je trouve le même résultat que toi.
Et dans le cas discret : une unique, midi
++


Barbichu

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#5 03-08-2008 08:31:07

vbnul
Membre
Inscription : 06-02-2007
Messages : 67

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Perso je donne ma langue au chat, vous nous expliquez ?

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#6 03-08-2008 20:58:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Salut,

Je n'ai pas le temps ce soir, ni d'ailleurs d'ici un moment.
Je laisse Barbichu le faire, sinon je mettrai l'énigme dans les Jeux Mathématiques
du site au mois de Septembre (avec la correction, bien sûr).

Fred.

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#7 04-08-2008 11:56:23

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Permutation des aguilles d’une montre

Hello,
On va noter h la position de l'aiguille des heures sur le cadran, on peut toujours en déduire la position de l'aiguille des minutes (il s'agit de regarder la distance parcourue depuis la dernière heure ronde). On dispose donc d'une fonction m qui donne la position m(h) de l'aiguille des minutes en fonction de la position h de l'aiguille des heures.
Résoudre le problème revient alors à résoudre l'équation (E) : m(m(h)) = h

Pour résoudre le problème, on va considérer (arbitrairement) que toutes les positions (y compris celles de l'aiguille des minutes) sont à valeur dans [0,12[
0 réprésente la position midi, 3 la position "3 heures", etc ...
Ainsi h représente à la fois la position de l'aiguille des heures, mais aussi l'heure.
Et 5*m(h) (le x5 sert à ramener sur l'échelle des minutes) représente le nombre de minutes écoulées depuis la dernière heure ronde.
On notera [x] la partie entière d'un nombre x.
On a alors h = [h] + m(h)/12          (1)
(on ramène les minutes sur [0,1[ pour calculer le décalage de l'aiguille des heures par rapport à la dernière graduation correspondant à l'heure)
On en tire la formule m(h) = 12h - 12[h]          (2)

Résolvons (E) :
m(m(h)) = h
<=> 12m(h) - 12[m(h)] =  [h] + m(h)/12    (en appliquant (2) à gauche et (1) à droite)
<=> 143m(h)/12 = [h]+12[m(h)]
<=> m(h) = 12 ([h]+12[m(h)]) /143
=> il existe a et b dans {0,..,11} tels que m(h) = 12(a+12b)/143
Et a et b ne peuvent pas être simultanement égaux à 11 car sinon m(h) = 12(a+12b)/143 = 12*144/143 > 12 or m(h) est dans [0,12[
Donc toutes les solutions sont de la forme m(h) = 12(a+12b)/143 avec a et b dans {0,..,11} non simultanément égaux à 11.

Réciproquement,
m( 12(a+12b)/143 ) = 12 ( 12(a+12b)/143 - [ 12(a+12b)/143 ] )     (par (2))
                              = 12 ((12a+144b)/143 - b)
                              = 12 (12a+144b - 143b )/143
                              = 12(b+12a)/143
donc appliquer m revient à échanger a et b, et donc l'appliquer deux fois ne change rien.

Les solutions sont donc exactement les (h,m(h)) tels que h = 12k/143 avec k compris entre 0 et 142.

ça ressemble à ta solution Fred ?
++

Dernière modification par Barbichu (04-08-2008 11:56:52)


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