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Manu918

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Messages : 28

[Résolu] sev supplementaire

svp c'est urgent, j'ai pas pal de soucis a demontrer la chose suivante:
soit E=IR^IR, on considere les ensembles :
      F:={f appartient a E, f(1)=0}  et G:={f appartient a E, il existe a appartenant à IR, qqsoi x  appartenant à IR, f(x)=ax}
    et il faut montrer que G et F sont 2 sous espaces vectoriels supplémentaires!
si deja vous pouviez me montrer que F et G sont des sev de E, ce serait deja trés bien
PS: si vous pouviez detailler qque peu, je vous en serai grés

Matouille2b

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Inscription : 05-03-2006

Messages : 3

Re : [Résolu] sev supplementaire

Salut Manu 918 j' ai une solution pour toi :

la fonction nulle appartient à F;
Soit k appartenant à IR, (f,g) appartenant à F^2,
  kf(1) + g(1) = 0 ie kf+g appartient a F
Donc F sev de E

La fonction nulle appartient a G (il suffit de prendre a=0)
Soit k appartenant à IR, (f,g) appartenant à G^2,
il existe a, b appartenant à IR tel que pour tout x de IR , f(x)=ax et g(x)=bx
Donc kf(x) + g(x) = (ka +b)x Donc kf+g appartient à G
Donc G sev de E

Reste à montrer que F et G sont supplementaires dans E.

Soit f appartenant à F et G,
f(1)=0 et il existe a appartenant à IR tel que pour tout x de IR , f(x)=ax
En particulier pour x=1 on a 0=f(1)=a
Donc f est la fonction nulle
Donc F inter G = {0}

Soit f appartenant à E
On pose g(x)=f(x) - f(1)x et h(x)=f(1)x
On vérifie facilement que g appartient à F et h appartient à G.
De plus f(x)=g(x) + h(x)
Donc E=F+G

Conclusion F et G sont supplémentaires

Voilà j'espere que j'ai assez détaillé ... A plus