Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 26-07-2008 19:52:47
- ABB
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partage d'un jardin
Bonsoir
Une personne possède un jardin de forme triangulaire. Il a voulu le partager en trois parties de même surface, de telle façon que chaque partie a une frontière commune avec l’autre.
Est-ce qu’il est possible ?
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#2 27-07-2008 10:32:21
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : partage d'un jardin
Bonjour,
Avec un jardin en forme de triangle équilatéral, c'est évident, la réponse est oui.
Pour les autres types de triangles, je ne sais pas pour l'instant : je vais chercher...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 27-07-2008 14:40:14
- ABB
- Membre
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- Messages : 54
Re : partage d'un jardin
Bonjour
On peut reformuler cette situation comme suit :
On accroche au plafond d’une salle, une pièce métallique homogène par un point M de sa surface de telle sorte que la pièce sera en équilibre.
Quelle est la position de ce point M ?
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#4 27-07-2008 22:39:43
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
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Re : partage d'un jardin
bonjour,
dans le cas du triangle, il faut prendre l'intersection des médianes.
c'était ma première intuition, mais n'arrivant pas à prouver que les trois surfaces serai égales, je n'avais pas posté.
pour généralisé, le point M se situe au centre de gravité, qui est plus ou moins dificile à trouver en fonction de la forme...
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#5 28-07-2008 00:26:51
- ABB
- Membre
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- Messages : 54
Re : partage d'un jardin
Bonsoir
tibo,Il s’agit d’une plaque métallique de forme triangulaire.
ton intuition est juste, pour la démontrer il suffit de remarquer si M est le milieu du segment [BC] alors la droite (AM) partage le triangle ABC en deux triangles de même surface.
Dernière modification par ABB (28-07-2008 01:13:51)
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#6 28-07-2008 00:52:11
- Barbichu
- Membre actif
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Re : partage d'un jardin
Salut,
1/ pour montrer que le centre de gravité G d'un triangle découpe effectivement ce triangle en trois triangles AGB, BGC et CGA d'aire identique, on peut utiliser la méthode suivante :
On note a, b, et c les milieux respectifs de BC, CA et AB.
On remarque qu'une médiane coupe en le triangle en deux triangle d'air égale.
Par ex, la médiane (Cc) coupe ABC en ACc et BCc d'aires égales à GH*AB/2 (ou H est le pied de la hauteur issue de G dans ABG)
(Cc) = (Gc) est alors également une médiane de GAB donc cBG et cAG ont même aire.
Ainsi Aire(ACG) = Aire(ACc) - Aire(cAG) = Aire(BCc) - Aire(cBG) = Aire(BCG).
Par symétrie ACG, BCG et ABG ont même aire.
2/ Plus généralement, si G est le barycentre de (A,x), (B,y) et (C,z). On montre que
Aire(AGB) = z/(x+y+z) Aire(ABC)
Aire(BGC) = x/(x+y+z) Aire(ABC)
Aire(CGA) = y/(x+y+z) Aire(ABC)
(Découper ABC en deux par (AG) qui coupe BC en un point noté D, puis découper ABD en deux par (BG) et utliser la formule des barycentres partiels pour obtenir la première formule.)
Ces formules couplées aux formules sur les barycentres partiels permettent d'aboutir facilement au cas de n'importe quel polygone convexe. Et en particulier que le centre de gravité (ou isobarycentre des points) du polygone à n cotés permet de découper celui-ci en n triangles de même surface.
++
Dernière modification par Barbichu (28-07-2008 02:07:53)
Barbichu
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#7 28-07-2008 01:13:31
- ABB
- Membre
- Inscription : 20-07-2008
- Messages : 54
Re : partage d'un jardin
Bonsoir
on peut démontrer que le centre de gravité d'un triangle est le seul point qui le partage en trois triangles de même surface.
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#8 28-07-2008 02:17:27
- awsw
- Invité
Re : partage d'un jardin
Bonsoir!
pour le coup du jardin il faut effectivement utiliser le centre de gravité du triangle
on appelle ABC le triangle, G son centre de gravité, I le milieu de [BC]
alors (propriété bien connue) IG=IA/3
or A(BGC)=det(BC,IG)/2=det(BC,IA)/6=A(ABC)/3
de meme pour AGB et CGA...
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