Partie entière par ABB

yoshi · 26-07-2008 21:16:01

ABB a écrit :

Bonsoir
Je propose l’exercice suivant :
Soit n un entier naturel tel que n+1 est un carré parfait
Calculer la partie entière de [tex]\sqrt n[/tex]
Dernière modification par ABB (Hier 20:24:54)

Désolé, mauvais déplacement...

yoshi · 26-07-2008 21:18:39

Vbnul a écrit :

beuh... analytiquement ou numériquement ? ^^
Et on connait la racine de n+1 ?

yoshi · 26-07-2008 21:20:20

tibo a écrit :

bonjour,
je dirai:
[tex]E(\sqrt n)=\sqrt{n+1}-1[/tex]

yoshi · 26-07-2008 21:22:34

Vbnul a écrit :

tibo a écrit :
bonjour,
je dirai:
[tex]E(\sqrt n)=\sqrt{n+1}-1[/tex]
On dirait bien oui, prouve le maintenant ;-p

yoshi · 26-07-2008 21:23:19

JJ a écrit :

n+1 = k²
n = k²-1
rac(n) = rac(k²-1) = k*rac(1-(1/k²))
0 <(1/k²) < 1 . Développement en série de rac(1-(1/k²)) :
rac(1-(1/k²)) = 1- (1/2k²)+...
1-(1/2k²) < rac(1-(1/k²)) < 1
k*(1-(1/2k²)) < k*rac(1-(1/k²)) < k
k-(1/2k) < rac(k²-1) < k
k-(1/2k) < rac(n) < k
k-1 < k-(1/2k)
k-1 < rac(n) < k
E(rac(n)) = k
E(rac(n)) = rac(n+1)

yoshi · 26-07-2008 21:24:39

J'avais écrit :

Bonjour,

Je vais essayer d'être simple.
Tout nombre décimal peut être encadré entre deux entiers consécutifs (j'enfonce une porte ouverte)...
Je veux prouver que
[tex]\sqrt{n+1}-1\,\le\,\sqrt n\,<\, \sqrt{n+1}[/tex]
1. Que [tex]\sqrt n\,<\,\sqrt{n+1}[/tex] ça peut se démontrer facilement, mais je considère que c'est évident...
2. Passons à [tex]\sqrt{n+1}-1\,\le\,\sqrt n[/tex]
On a : [tex]0\,\le\, n[/tex] , donc [tex]0\,\le\, \sqrt n[/tex] , donc [tex]0\,\le\,2\sqrt n[/tex]
J'ajoute n+1 aux deux membres de l'inégalité :
[tex]n\,+\,1\,\le\,n\,+\,1\,+\,2\sqrt n[/tex]
Et :
[tex]n\,+\,1\,\le\,(\sqrt n\,+\,1)^2[/tex]
D'où :
[tex]\sqrt{n\,+\,1}\,\le\,\sqrt n\,+\,1[/tex]
Et enfin :
[tex]\sqrt{n+1}-1\,\le\,\sqrt n[/tex]
On a donc bien :
[tex]\sqrt{n+1}-1\,\le\,\sqrt n\,<\, \sqrt{n+1}[/tex]
La partie entière de [tex]\sqrt n[/tex] s'écrit donc bien :
[tex]E(\sqrt n)\,=\,\sqrt{n+1}-1[/tex]
@+

yoshi · 26-07-2008 21:25:47

Bonsoir,

Bien, ouvrons le débat ! ABB, où avez-vous voulu en venir ?
Qu'étions-nous censés voir ?

@+

ABB · 27-07-2008 00:18:54

Bonsoir

Malgré la simplicité de l’énoncé l’équation de Pell-Fermat ( l’équation dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] : [tex]x^2-ny^2=1[/tex] où n est un entier naturel non carrée parfait), la méthode de sa résolution repose sur la notion de fraction continue, qui est une notion compliquée.
La non justification du recours aux fractions continues pose des difficultés devant les étudiants pour comprendre cette méthode. Ce qui rendre la reproduction de cette méthode par eux difficile.
Devant cette situation, la question qui s’impose est la suivante : peut-on trouver une approche qui permet à l’étudiant de comprendre la nécessité des fractions continues ?
Si on regarde la forme de cette équation, on peut constater que si (x ;y) est une solution de cette équation alors [tex]1+ny^2[/tex] est un carrée parfait, On peut formuler cette constatation en posant la question suivante : Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier naturel soit un carrée parfait ? cette question est équivalente à la question objet de ce post.
Au retour à l’équation de Pell-Fermat, on pourra alors dire que si (x ;y) est une solution de cette équation tels que[tex]x>0[/tex] alors [tex]x-1=E(y\sqrt{n})[/tex]. Cette remarque permettra de comprendre pourquoi on fait appel aux fractions continues dans la résolution de cette équation.

yoshi · 27-07-2008 10:25:18

Je veux bien débattre.
Mais je suis probablement dans la même situation qu'un élève de 2nde à qui je tenterais de parler d'équations différentielles.
Les notions que vous évoquez me sont connues (livresquement parlant), mais je suis loin de les maîtriser : je suis allé consulter le wiki, mais je ne suis guère plus avancé, je ne vois toujours pas où vous voulez en venir, et les remèdes à apporter.
Donc, j'ai du mal à vous suivre et ça fait obstacle au débat. Serait-il possible, pour le bien du plus grand nombre (et donc, égoïstement, le mien) de vous baser sur des notions un peu moins "pointues" ?
Combien parmi les lecteurs et/ou contributeurs réguliers de ce Forum, vous suivent ? 2 ou 3 % ? C'est dommage...

Dans un autre post, vous avez écrit :

Lorsque je parle de l’enseignement des mathématiques, je ne fais pas référence à la méthode suivie par le professeur. Je tiens à préciser que je fais référence aux obstacles imposés par notre conception de la matière elle-même.

Donc plusieurs questions.
1. Chacun aurait donc une "conception" propre des mathématiques. Que voulez-vous dire par là ? Que nous avons subi un conditionnement qui fait obstacle à la réalisation de certains exercices ? Si oui, alors question 2, si non question 3.

2. Qui nous fait subir ce conditionnement si ce ne sont nos Professeurs successifs, tenus de suivre des programmes et les Instructions Officielles y afférentes. Les méthodes que l'on doit enseigner sont-elles à revoir ? Et où va-t-on trouver le temps pour cela ? Le résultat serait-il à la hauteur des espérances ? Tous les profs de maths TS (ou ES) vous le diront : ils sont obligés de serrer les délais, sinon les programmes ne sont pas traités, avec les conséquences éventuelles que l'on devine sur les résultats du Bac...

3. Nous aurions donc, ex nihilo, chacun une "conception" de la matière ? Mais dans ce cas, vous aussi cher Maïtre, et peut-être à votre insu êtes-vous en train d'essayer de la faire passer, induisant en cela un conditionnement dont il est question au point 2. D'où vient cette conception propre à chacun ?

@+

ABB · 28-07-2008 01:44:44

Salut, cher collège yoshi
Je n’ai aucune intention de faire passer ma conception. Je veux simplement discuter des méthodes simples pour résoudre des problèmes apparemment difficiles, à travers des situations.
Si tu vois que ma contribution à ce forum n’est pas intéressante, je te demande cordialement d’effacer mes interventions, que tu juge non bénéfiques.

Dernière modification par ABB (28-07-2008 14:27:54)

yoshi · 29-07-2008 08:46:14

Bonjour,

Alors, je n'ai pas été explicite dans mon point 3. c'était un clin d'oeil, une forme de "coup de pied de l'âne" (moi), un paradoxe.

Donc, reprenons...
1. Chacun aurait donc une "conception" propre des mathématiques. Que voulez-vous dire par là ? Que nous avons subi un conditionnement qui fait obstacle à la réalisation de certains exercices ?
C'est la seule explication qui peut faire que, face à un exercice, nous nous précipitions sur des solutions compliquées (j'en sais quelque chose) ou que nous soyons inexplicablement bloqués par des détails insignifiants (ce que j'ai appelé dans d'autres posts, "un cas de cécité temporaire caractérisée"
Là, je suis d'accord.
Mais cette conception propre n'est pas là ex nihilo (tirée du néant) elle vient d'une éducation.
Quelles sont les composantes de cette éducation ? Je n'y ai jamais vraiment réfléchi et là, je suis poussé à le faire...

Je me suis fait, au long de cette discussion, l'avocat du diable en quelque sorte, il est temps de tomber le masque.
J'avais en effet réuni deux pages de problèmes tout aussi bizarres les uns que les autres, déstabilisants au possible pour des enfants entrants en 6e, accompagnés d'une lettre expliquant mes intentions : chaque année, je commençais par là. J'ai fini par arrêter, les parents eux-mêmes étant déstabilisés (ce qui ajoutait un sérieux "bruit de fond" à ma démarche), et se considéraient comme dévalorisés aux yeux de leur progéniture...
Exemple :
Un champ rectangulaire mesure 92 m de demi-périmètre. On augmente sa Longueur et sa largeur de 8 m.
De combien de m², son aire augmente-t-elle ?

Et les élèves étaient particulièrement surpris, lorsque revenant avec un système de 2 équations à 2 inconnues (!), je proposais plus simple, moyennant l'utilisation d'un matériel de base : une feuille de papier quadrillé blanche, la même en couleur, un crayon, une règle, une paire de ciseaux et un bâton de colle.
On pouvait arriver au même résultat avec un dessin, mais ce matériel permettait de manipuler (rassurant) et d'être concret...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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